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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Dijon}}
\rfoot{\small{juin 1962}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Dijon juin 1962}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\bigskip

{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Deux villes, A et B, sont distantes de \np[km]{300}.

Sur l'axe AB, d'origine A et dont le sens positif est celui de A vers B, le point M, d'abscisse $\overline{AM} = x$, est l'image d'un mobile parvenu en M à un instant désigné par $t$ ($t$ est exprimé en heures et fraction d'heures).

Cela posé, une voiture, animée d une vitesse constante de \np[km]{90}  à l'heure, part de A à 8 heures et se
dirige vers B.

Une autre voiture, animée d'une vitesse constante de \np[km]{60}  à l'heure, part de B à 9 heures et se
dirige vers A.

Les positions des voitures à l'instant $t$ sont M et N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Exprimer $x = \overline{\text{AM}}$ et $x' =\overline{\text{AN}}$ en fonction de $t$.

Exprimer ensuite $\overline{\text{MN}}$ et la distance des deux voitures en fonction de $t$.
\item À quel instant $t$ la distance des deux mobiles a-t-elle une valeur donnée $d$ ? ($d$ est exprimé en
kilomètres.)
\item \emph{Application} :
	\begin{enumerate}
		\item $d = 0$ ;
		\item $d = \np[km]{100}$.
	\end{enumerate}

Vérification à l'aide d'un graphique ($t$ en abscisses, la \emph{distance} MN en ordonnées).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC, rectangle en A (AB = \np[cm]{8}  ;
. AC = \np[cm]{6} ). 

Sur le côté [AB], entre B et A, on marque un point M.

Sur le prolongement de [AC], on marque un point M$'$ tel que CM$' =$ BM.

Le cercle de diamètre [BC] rencontre la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ en O.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles OBM et OCM$'$.
\item Montrer que le triangle MOM$'$ est rectangle
et isocèle.

Déterminer son aire, lorsque les points B, C, M, M$'$ sont sur un même cercle.
\item Montrer que, si M varie sur [BA], le milieu, I, de [MM$'$]
décrit un segment de droite.

Construire le point I pour que la droite (MM$'$) passe par H, projection de A sur
(BC).

Justifier.
\end{enumerate}
\end{document}