\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B. E. P{}. C.},
pdftitle = {Dijon octobre 1957},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Dijon}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Dijon octobre 1957}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit le polynôme 
\[A = x^2 +8x + 15.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel nombre faut-il lui ajouter pour qu'il soit le carré d'un binôme ?

Quel est ce carré ?

En retranchant de ce carré le nombre précédemment ajouté, écrire le polynôme $A$ sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
\item Par quels nombres entiers, positifs ou négatifs, peut-on diviser 2 pour obtenir un quotient entier ?

Calculer les valeurs entières de $x$ pour lesquelles la
fraction $\dfrac{2}{x + 3}$ est un nombre entier positif ou négatif.
\item Transformer l'expression $1 + \dfrac{2}{x + 3}$ en une fraction et construire les courbes représentatives de

\begin{center}$y_1 = x + 5$ \qquad et \qquad $y_2 = x + 3$.\end{center}
fonction
\item Lire sur le graphique la valeur du rapport $\dfrac{x + 5}{x + 3}$
 pour les valeurs de $x$ trouvées dans la question 2.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On donne un demi-cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que  AB $= 2R$ et la tangente [A$x$) au point A.

D'un point P quelconque, pris sur [A$x$), mais tel que PA $> R$ on mène la deuxième tangente au cercle, soit [PM).


\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que [OP) est, bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AOM}}$.
\item Démontrer que (BM) est parallèle à (OP).
\item Du point O, on mène la perpendiculaire à (AB) qui coupe en N le prolongement de [BM].
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le quadrilatère OBNP est un parallélogramme.
		\item Démontrer que le quadrilatère OMNP est un trapèze isocèle.
	\end{enumerate}
\item On donne AP $= 4$.

Calculer en fonction de $R$ les longueurs BN, AM, BM.
\end{enumerate}
\end{document}