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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Dijon}}
\rfoot{\small{septembre 1954}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Dijon \:septembre 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC rectangle en A, tel que AC $= 3$ cm et AB $= 4$ cm.

On prend M sur le segment [BC] et l'on trace H sur [AB] tel que (MH) est parallèle à (CA) et K sur [AC] tel que (MK) est parallèle à (AB).

On pose MB $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le périmètre $y$ du quadrilatère MHAK en fonction de $x$ et représenter graphiquement la variation de $y$ en fonction de $x$ lorsque M décrit le segment [BC].
\item Déterminer graphiquement la valeur que doit prendre $x$ pour que le périmètre soit égal à 7 cm.

Résoudre ensuite ce même problème algébriquement.
\item Le quadrilatère MHAK peut-il être un carré pour une valeur particulière de $x$ ? Déterminer alors algébriquement son périmètre.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Dans tout ce qui suit, le segment [BC] donné sera porté par une droite qui partage le plan en deux demi-plans.

On se placera dans un seul de ces deux demi-plans.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un triangle ABC a son côté [BC] fixe, son angle $\widehat{\text{A}}$ mesure  $30\degres$.

Quel est le lieu de son sommet A ? (Démonstration, construction du lieu.)
\item Un triangle ABC a son côté [BC] fixe et sa hauteur
[AA$'$] de longueur constante $h$.

Quel est le lieu de son sommet A ? (Démonstration.)
\item \emph{Application des deux questions précédentes} :

Construire (en expliquant) un triangle ABC, connaissant BC $= 5$ cm, son angle $\widehat{\text{A}}$ de mesure $30\degres$ et sa hauteur de longueur 
AA$'= 5\sqrt 3$~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le triangle ainsi construit est rectangle.
		\item Calculer l'aire du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}