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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Dijon}}
\rfoot{\small{septembre 1956}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Dijon\: septembre 1956}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

L'Électricité de France propose à un client deux modes de paiement de sa consommation mensuelle d'électricité: dans le premier, chaque kilowatt-heure est facturé $25$~F; dans le second, chaque kilowatt- heure est facturé $10$~F{}, mais le client doit payer en
outre une somme fixe de $300$~F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Ce client ayant une consommation mensuelle de $x$ kilowatt-heure, calculer les sommes $y_1$ et $y_2$ qu'il doit payer dans chaque cas.

Pour quelle consommation ces deux sommes sont-elles égales ?
\item Représenter sur un même graphique les variation de $y_1$ et $y_2$ en fonction de $x$.

On représentera 1 kilowatt- heure par $5$ mm et $10$~F par 2 mm.

Peut-on avec le graphique, trouver, suivant les valeurs de $x$, le
mode de paiement le plus économique ?
\item En supposant $x = 12$, calculer $y_1$ puis $y_2$ et l'économie réalisée en adoptant le mode le plus avantageux.

Vérifier sur le graphique.
\item Trouver graphiquement $x$ de telle sorte que $y_1 - y_2 = 120$~(F{}.)

Le résultat pouvait-il être prévu en tenant compte de la troisième question ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC rectangle en A.

On sait que AB $= a$, AC $= a\sqrt 3$ \:($a$ est une longueur donnée).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BC en fonction de $a$ ; donner en degrés la valeur des angles du triangle.
\item En B et en C on mène les perpendiculaires à (BC) jusqu'aux points de rencontre, D et E, avec les prolongements des côtés [CA] et [BA].

Calculer AD, AE, BD, EC en fonction de $a$.
\item Démontrer que les cercles circonscrits aux triangles ABD et ACE sont tangents à (BC) en B et C et tangents entre eux en A.
\item Exprimer en fonction de $a$ l'aire de la portion du cercle passant par A, E, C, intérieure au triangle ABC.
\end{enumerate}
\end{document}