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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Dijon septembre 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Un mobile parcourt une distance AB aller et retour.

Il fait l'aller à la vitesse moyenne de 25 kilomètres par heure et le retour à la vitesse moyenne de $20$ kilomètres par heure.

Sachant qu'il s'arrête $1$~heure en B et que la durée totale du parcours aller et retour et arrêt compris est 10 heures, on demande :

\medskip

\begin{enumerate}
\item de calculer la distance AB;
\item de représenter graphiquement le mouvement du cycliste depuis son départ de A, jusqu'à son retour en A. (Abscisses : 1~cm pour 1~h ; ordonnées : $1$~cm pour $10$~km.)

Le diagramme comporte trois courbes : donner leurs équations.
\item Un deuxième mobile part de A, $5$~heures après le départ du premier à la vitesse de $60$~km par heure.

Trouver à quelle distance de A se rencontreront les deux mobiles et au bout de combien de temps.
\item Représenter graphiquement le mouvement du deuxième mobile.

Donner l'équation de la courbe représentative de son mouvement.

Trouver par le calcul et sur le graphique les réponses à la question 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un segment [AB] tel que AB $= 2a$ ; on trace sa médiatrice $xy$, qui le coupe en O 
; on prend sur $xy$ un point I tel que OI $= \dfrac a2$ ; ; on trace (BM) perpendiculaire à (AI).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles AOI et AMB.

Calculer AI, AM, BM.
\item On prolonge [BM] jusqu'à son intersection, K, avec $xy$.

Montrer que (BI) est perpendiculaire à (AK).
\item On porte sur la médiatrice $xy$, à l'opposé de I, OP $= a$.

Montrer que les points A, M, B, P sont sur un même cercle.

Qu'est [MP) pour l'angle $\widehat{\text{AMB}}$ ?
\item Soit Q l'intersection de (MP) et de (AB) ; calculer QA et QB en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{document}