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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Dijon}}
\rfoot{\small{septembre 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle septembre 1959~\decofourright\\[7pt]
Dijon}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère la fraction rationnelle 
\[F = \dfrac{9x^2 + 6xy + y^2 - 25}{9x^2 - y^2 - 5(3x - y)}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier cette fraction.

On trouvera
\[f = \dfrac{3x + y + 5}{3x - y}\]

\item Vérifier que, pour $x = 1,\: y = \sqrt 2$, la valeur numérique de $F$ et la valeur numérique de $f$ sont égales.

Peut-on en dire autant pour $x = 1$,\: $y = 2$ ?  Dire pourquoi.
\item Dans la fraction rationnelle $\dfrac{3x + y + 5}{3x - y}$, on suppose 
que $x$ et $y$ sont les coordonnées d'un point M rapporté à deux axes rectangulaires O$x$ et O$y$.

Quelle est la ligne décrite par le point M quand cette fraction rationnelle
a pour valeur $\dfrac32$?

Construire cette ligne.
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un segment [AB] de longueur $2a$.

Au milieu M de ce segment on élève la perpendiculaire à ce segment, sur laquelle on prend MD $= \dfrac a2$.

Par le point B on mène la perpendiculaire à la droite (AD) et l'on appelle C son pied.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $a$, les longueurs des segments [AD], [AC], et [CB].
\item Calculer la longueur de la hauteur [CH] du triangle ABC.
\item On prolonge [DM] d'une longueur ME $= a$.

Montrer que les points A, C, B, E sont sur un cercle
de centre M et que [CE) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{ACE}}$.
\item Soit P le point d'intersection de (CE) et (AB).

Quelle 
est la valeur du rapport $\dfrac{\text{PA}}{\text{PB}}$ et quelles sont les longueurs PA et PB ?
\end{enumerate}
\end{document}