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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Dijon septembre 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement le système suivant:
\[\left\{\begin{array}{l l c l}
(1) &4x - y&=&8,\\
(2) &3x + 2y&=&17.
\end{array}\right.\]

(échelle du graphique : 1~cm par unité.)
\item Résoudre algébriquement ce système et comparer les résultats.
\item Par le point A(0~;~4) on mène la parallèle à la droite d'équation $4x - y = 8$.

Former l'équation de cette parallèle et montrer qu'elle rencontre
en A la droite d'équation $y = - \dfrac x4 + 4$.
\item Les deux droites passant par A coupent $x'x$ en B et C.

Prouver que le triangle ABC est rectangle.

Calculer la longueur de ses côtés et son aire.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On considère un demi-cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

Soient C le milieu de l'arc $\widearc{\text{AB}}$, M un point quelconque de l'arc $\widearc{\text{BC}}$ et N le point d'intersection de (OC) et (AM).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère BONM est inscriptible.

En déduire la relation AM $\cdot$ AN $= 2R^2$.
\item Démontrer que, si M est le milieu de l'arc $\wideparen{\text{BC}}$, le triangle BMN est isocèle.
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{MAB}}$ lorsqu'on a ON = MN et calculer la longueur des segments [AM] et [AN] en fonction de $R$.

Vérifier, avec ces valeurs, la relation obtenue au 1.
\end{enumerate}
\end{document}