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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Dijon septembre 1973~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Les fonctions polynômes $f$ et $g$ définies dans $\R$ sont telles que 
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&(3x - 2)(2x- 1)^2- 9(3x - 2)\:\text{et}\\
g(x)&=&(2x - 6)(x - 2) - (2 - x)(x + 4).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déduire et ordonner $f(x)$ et montrer ainsi que $f(x)$ est un polynôme du troisième degré.
\item Écrire $f(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.

Calculer $f(1)$ et $d\left(\dfrac12\right)$.
\item Donner l'ensemble des nombres réels $x$ qui vérifient $f(x) = 0$.
\item On considère la fonction rationnelle $q$ de la variable réelle $x$ définie par
\[q(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $q$.

Simplifier $q(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Un plan affine euclidien $(P)$ est rapporté à un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer dans ce plan les points A, B et C donnés
par leurs coordonnées :
\begin{center}A$(- 1,5~;~2)$, \quad B$(1,5~;~- 2)$\quad  et \quad C(6,5~;~8),\end{center}
et montrer que O est le milieu du segment [AB].
\item Calculer les distances  $d$(A, B), $d$(A, C) et $d$(B, C) et montrer que le triangle (A, B, C) est rectangle.
\item Soit H la projection orthogonale de A sur la droite (BC).

Calculer $d$(B, H) et $d$(A, H).
\item Choisissons l'axe euclidien $\left(\vect{\text{BC}}\right)$ sur la droite (BC).

Désignons par B$'$ et C$'$ respectivement les projections orthogonales des points B et C sur l'axe euclidien $\left(\text{O},~\vect{\jmath}\right)$.

Calculer  $\dfrac{\overline{\text{BH}}}{\overline{\text{BC}}}$ et $\dfrac{\overline{\text{B}'\text{O}}}{\overline{\text{B}'\text{C}'}}$

Montrer, avec précision, que l'on peut en conclure
que H appartient à l'axe $\left(\text{O},~\vect{\imath}\right)$.
\end{enumerate}
\end{document}