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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Dijon septembre1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer le calcul suivant :
\[\dfrac{7 +2 \sqrt{10}}{\sqrt 2 + \sqrt 5} -  \dfrac{7 - 2 \sqrt{10}}{\sqrt 2 - \sqrt 5}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère les deux fonctions rationnelles $f$ et $g$ de $\R$ vers $\R$
définies par :
\[f(x) = \dfrac{x^2 + 3x}{(x  1)(x + 2)} ; \qquad g(x) = \dfrac{(3x + 1)(x + 2)}{x^2 + x}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer les ensembles de définition $F$ et $G$ des fonctions rationnelles $f$ et $g$, puis $H = F \cap  G$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $g(x) = 0$.
\item Soit la fonction rationnelle de $\R$ vers $\R,\: q=\dfrac f g$ définie par $q(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.

Déterminer son ensemble de définition $L$.
\item Calculer, pour tout élément $x$ de $L$, l'expression simplifié de $q(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Un plan est muni d'un repère orthonormé \Oij{} et l'unité de longueur est 1~cm.

On considère les points A(1~;~1),\quad  B(0~;~3),\quad C(4~;~2)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer sur un graphique les points A, B, C.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $x$ étant un réel, on considère le point M$(x~;~0)$.
		
Déterminer l'ensemble $E$ des $x$ réels tels que $\vect{\text{BC}} = \vect{\text{AM}}$.

On note $E = \{x \in \R | \vect{\text{BC}} = \vect{\text{AM}}\}.$
		\item Soit le point D(5~;~0); quelle est la nature de (A, B, C, D) ?
		
Calculer les coordonnées de I, centre de (A, B, C, D).
	\end{enumerate}
\item Soit F$(- 6~;~0)$. Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires.
\item  Soit A$'$, le symétrique de A dans la symétrie orthogonale par rapport à la droite (BF).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées de A$'$ et placer A$'$.
		\item Démontrer que (A$'$, C, D, B) est un parallélogramme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}