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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Dijon septembre 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit les fonctions polynômes $f$ et $g$ de la variable $x$, de $\R$ vers $\R$, données par:
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&\left(2x - \sqrt 3\right)^2 + 2\left(2x - \sqrt 3\right) + \left(1 + \sqrt 3\right)\\
g(x)&=& 2x\left[(x + 2)^2 - \left(x + \dfrac32\right)^2\right] + x + \dfrac74
\end{array}\]

Développer et réduire $f(x)$.

Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de polynômes du premier degré.
\item On considère la fonction rationnelle $p$ de la variable $x$, de $\R$ vers $\R$,
donnée par :
\[p(x) = \dfrac{(2x+1)^2}{\left(x + \dfrac74\right)(2x + 1)}.\]

Calculer, si elles existent, les valeurs prises par $p(x)$ pour
\begin{center} $x = 0,5, \quad x = \dfrac34, \quad x = - 3,75$.\end{center}
\item Construire dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij{} d'axes O$x$ et O$y$ (unité : 2 cm) les représentations graphiques des deux fonctions
affines de $\R$ vers $\R$ :
\begin{center} $x \longmapsto 2x + 1$\quad et\quad $x \longmapsto x + \dfrac74$.\end{center}

Déterminer par le calcul les coordonnées de leur point d'intersection. 
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

\smallskip

Faire une figure (unité : 1~cm).

Le plan est muni du repère orthonormé \Oij. On donne les points A, B, C tels que:

\begin{center}$\vect{\text{OA}} = -6\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OB}} = 8\vect{\imath}, \quad \vect{\text{OA}} = 8\vect{\imath} + 10\vect{\jmath} $.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Soit M le milieu de (A,C).

Calculer la norme de chacun des vecteurs $\vect{\text{BA}},\: \vect{\text{BC}}$.

Montrer que la droite (BM) est perpendiculaire à la droite (AC).
\item Soit le point J tel que $\vect{\text{BJ}} = \dfrac14\vect{\text{BM}}$.

$W$ est la droite contenant J et parallèle à la droite (AC).

Le point F est l'intersection de $W$ et de la droite (BC).

Le point E est l'intersection de $W$ et de la droite (BA).

Calculer les distances du point B aux points F et E.

Montrer que J est le milieu de (E,F).

\item On appelle Q le milieu de (M, C) et P le milieu de (M, A).

Montrer que la droite (EQ) est parallèle à la droite (BC) et que la droite (FP) est parallèle à la droite (BA).
\item Le point H est l'intersection des droites (EQ) et (FP).

Montrer que (B, E, H, F) est un parallélogramme.

Montrer que les points B, J, H sont alignés et que H est le milieu de (B, M).
\end{enumerate}
\end{document}