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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Dijon septembre 1976~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

$x$ désignant un nombre réel, on pose
\[\begin{array}{l c l}
A&=&x^2 - 9 -(x - 3)(2x - 5) + (5x - 15)(x + 1)\:\text{et}\\
B&=&(4x + 13)(-3x + 5).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer. réduire et ordonner $A$ et $B$.
\item Écrire $A$ sous forme d'un produit de facteurs du
premier degré (par rapport à $x$).
\item $g$ est la fonction polynôme de la variable réelle telle que
\[g(x) = - 12x^2 - 19x + 65.\]

Calculer $g(-3),\: g\left(- \frac{13}{4}\right),\:g\left(\sqrt 2\right)$ et $g\left(\dfrac53\right)$.
\item Représenter graphiquement. dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} les deux applications affines $h$ et $f$ telles que :
\[\begin{array}{l l c l}
h :&\R&\to&\R,\\
&x&\longmapsto& h(x) = x - 3.
\end{array}\quad \begin{array}{l l c l}
f :&\R&\to&\R,\\
&x&\longmapsto&f(x) = - 3x + 5.
\end{array}\]
\item Résoudre dans $\R \times \R$ le système d'équation 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{3}x - 3 - y &=& 0,\\
3x - 5 + y &=& 0.
\end{array}\right.\]
Vérification graphique.
\item Calculer les images des nombres $3,\: \dfrac{14}{3}$ et $0$ par l'application $f \circ h$ (c'est-à-dire $h$ suivie de $f$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Faire une figure (unité: 1 cm).

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij.

On considère les points A, B et C tels que

\[\vect{\text{OA}} = -\vect{\imath} - 3\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OB}} = 5\vect{\imath} + \vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OA}} = 3\vect{\imath} + 4\vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les normes des vecteurs $\vect{\text{AB}}, \:\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$.

Montrer que le triangle (A, B, C) est rectangle.
\item Quels sont les coordonnées du milieu M du bipoint (A, C) ?

On considère le point D tel que $\vect{\text{MD}} = \vect{\text{BM}}$.

Montrer que $\vect{\text{OD}} = - 3\vect{\imath}$.
\item Établir que (A, B, C, D) est un rectangle et que
la médiatrice du segment [AB] passe par M.
\item Montrer que les points B, C et D appartiennent au cercle de centre M et de rayon MA. (MA est la distance des points M et A.)
\end{enumerate}
\end{document}