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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small septembre 1977}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Les parties I. II. III peuvent être traitées séparément.

\medskip

\textbf{Partie I.}

\medskip

Soient les polynômes:
\[\begin{array}{l c l}
A &=&(x - 0,7) (x + 0,7) \\
B &=&(2x + 1)^2\\
C &=&\left(x^2 - 0,49\right) + x(x + 0,3) - 0,7(x + 0,3)
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $A, B$, et $C$.
\item Mettre $C$ sous la forme d'un produit de polynômes du premier degré.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II.}

\medskip

Soit $f$ la fonction rationnelle de la variable réelle $x$ donnée par :
\[f(x) = \dfrac{(x - 0,7)(2x + 1)}{4x^2 + 4x + 1}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, si elles existent, les images par $f$ des réels suivants:
\[- 0,5\:;\quad \dfrac{7}{10} \:;\quad 0,1.\]

\item Calculer $f(\np{1,0625})$.

Le nombre $f(\np{1,0625})$ est-il un nombre décimal ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie III.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R \times \R$ le système
\[\left\{\begin{array}{l c l}
- x + y + 0,7&=&0\\ 
2x+y+1 	&=&0
\end{array}\right.\]

\item Soient $g$ et $h$ les fonctions de $\R$ dans $\R$ données par : 
\begin{center}$g(x) = x - 0,7$\quad  et \quad $h(x) = -2x - 1$\end{center}

Représenter graphiquement les fonctions $g$ et $h$ dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij{} d'axes O$x$ et O$y$ (unité : 1~cm).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie IV.}

\medskip

Soit $p$ la fonction de $\R$ dans $\R$ donnée par : 
\[\begin{array}{l l c l}
p(x)& =- 2x -1 &\text{si}&x < - 0,1\\
p(x)& =x - 0,7 &\text{si}&x \geqslant - 0,1
\end{array}\]

Représenter graphiquement la fonction $p$ dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij{} précédent.

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Faire une figure (unité : 1~cm).

Dans un plan rapporté au repère orthonormé \Oij, on donne les points A, B, C, tels que:
\[\vect{\text{OA}} = 3\vect{\imath} + \vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OB}} = - 3\vect{\imath} + 3\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OC}} = -\vect{\imath} - \vect{\jmath}
.\]

\textbf{Partie I.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les normes des vecteurs $\vect{\text{AB}}, \:\vect{\text{BC}}, \: \vect{\text{AC}}$.
\item Montrer que le triangle (A, C, B) est rectangle et isocèle.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du milieu I de (A, B).
\item $\mathcal{C}$ est le cercle, de centre I, passant par A. 

Montrer que $\mathcal{C}$ passe aussi par les points B et C.
\item $\mathcal{C}$ coupe la médiatrice du segment [AB] en C et D.

Les points C et D sont distincts. Montrer que (A, C, B, D) est un carré.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie III.}

\medskip

Le point E est tel que (C, D, A, E) est un parallélogramme.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points B, C, E sont alignés et que la droite (AC) est la
médiatrice du segment [BE].
\item La droite (DE) coupe la droite (CA) en J et la droite (BA) en H.

Calculer les coordonnées du point J et les coordonnées du point E.
\item On projette sur la droite (OJ), parallèlement à la droite (DE), les points
 A et B respectivement en A$'$ et B$'$.
 
 Montrer que:
\[\begin{array}{l c l}
\vect{\text{JB}'} &=& 2\vect{\text{A}'\text{J}}\\
\vect{\text{HB}} & = &2\vect{\text{AH}}\\
\vect{\text{HE}} &= &2\vect{\text{DH}}.
\end{array}\]
\end{enumerate}
\end{document}