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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small septembre 1978}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soient les polynômes :

\[\begin{array}{l c l}
A&=&(2x - 4)(x + 1) - x^2 + 2x - 5(x - 2)\\
B&=&(3x + 1)^2 - 4(x + 2)^2
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $A$ et $B$.
\item Mettre $A$ et $B$ sous forme d'un produit de polynômes de degré un au plus.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice II}

\medskip

Soit la fonction affine $f$ de $\R$ dans $\R$ donnée par 
\[f(x) = x - 2.\]

Représenter graphiquement cette fonction dans le plan rapporté au repère 
orthonormé \Oij{} d'axes O$x$ et O$y$ (unité = 1 cm).

En déduire la représentation graphique de la fonction $h$ de $\R$ dans $\R$ telle que $h(x) = |x - 2|.$

\textbf{N. B.} Utiliser une couleur différente pour le deuxième tracé dans le même repère.

\medskip

\textbf{Exercice III}

\medskip

Soit la fonction rationnelle $g$ de la variable réelle $x$ donnée par 

\[g(x) = \dfrac{|x - 2|}{5x + 5}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer. si elles existent. les images des nombres réels:
\[-0,4 \:;\quad 0\:;\quad \dfrac13 \:;\quad 2 \:;\quad 2\sqrt 2.\]

Montrer que les quatre premiers résultats sont des nombres décimaux.

Sachant que $1,414 < \sqrt 2< 1.415$, donner une valeur approchée par défaut à
$10^{-2}$ près du dernier résultat.
\item  Résoudre dans $\R$ l'inéquation $5x + 5 > 0$.

En déduire le signe de $g(x)$ pour tout $x$ réel ayant une image par $g$S.
Les trois parties sont indépendantes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan $P$ rapporté au repère orthonormé \Oij{} d'axes O$x$ et O$y$
(unité = 1~cm), placer les deux points A et B de coordonnées : 
\begin{center} A (8~;~0) et B $\left(2~;~2 \sqrt 3\right)$\end{center}
et montrer que le point B appartient au cercle $(\mathcal{C})$ de centre O et de rayon 4 que l'on construira.
\item Calculer les distances $d$(O, A) et $d$(A, B). 

Montrer que le triangle (A, O, B) est un triangle rectangle.

En déduire la position relative de la droite (A, B) et du cercle $(\mathcal{C})$.
\item Soient D, le point diamétralement opposé à B sur le cercle $(\mathcal{C})$, et M et N les extrémité du diamètre de $(\mathcal{C})$ portés par (O$y$).

Quelle est la nature du triangle (D, M, N) ?
\item Soit I la projection orthogonale de O sur la droite (DN).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que I est le milieu du segment [D, N].
		\item Construire le symétrique J du point I dans la symétrie centrale de centre O et montrer que J est le milieu du segment [M, B].
		\item Montrer que les trois points M, J, B sont les images respectives des points D, I, N
 dans une même translation dont on donnera le vecteur $\vect{v}$ par ses coordonnées.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}