\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Dijon septembre 1980},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small septembre 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon septembre 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\bigskip

\textbf{\large Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous la forme d'un produit de polynôme du premier degré chacun des polynômes
suivants:

\[(2x + 1)^2 - (x - 3)^2 ;\qquad (3x - 2)^2 - (3x - 2)(4x- 5).\]
\item Vérifier que le polynôme
\[(2x + 1)^2 - (x -3)^2 + (3x - 2)^2 - (3x - 2)(4x - 5)\]

est un polynôme du premier degré.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné le polynôme
\[(3x - 2)(x + 4) + (3x - 2)(- x + 3).\]

Résoudre, dans $/R$. l'inéquation
\[(3x -2)(x + 4) + (3x - 2)(- x + 3) > 0.\]

\item Résoudre, dans $\R$ chacune des équations suivantes:
\[x + 4 = - x + 3 \:;\\
x + 4 = x - 3.\]
En déduire les solutions de l'équation
\[|x+4| = |-x + 3|.\]
\end{enumerate}

\emph{Rappel} : $|x + 4|$ et $|- x +3|$ désignent respectivement les valeurs absolues de  $x + 4$ et de $-x + 3$.

\bigskip

\textbf{\large Partie III}

\medskip

Soit $\mathcal{D}$ la représentation graphique dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij{} d'axes $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$ de la fonction affine $p$ donnée par 
\[p(x)= x - 3.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Soit les points A et B de $\mathcal{D}$ dont les abscisses sont respectivement $3 +\sqrt 2$ et $3 + \sqrt 3$.

On considère le point M d'abscisse 4,526 et d'ordonnée 1,526.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que M est un point de $\mathcal{D}$.
		\item Sachant que
\begin{center}$1,4< \sqrt 2< 1,5$\quad  et \quad $1,7< \sqrt 3< 1,8$\end{center}

justifier chacune des inégalités suivantes:

\[4,4 < 3 + \sqrt 2 < 4,5 ;\\
4,7 < 3 + \sqrt 3 < 4,8 ;\\
3 + \sqrt 2 < 4,526 < 3 + \sqrt 3.\]
		\item Démontrer que M est un point du segment [AB].
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\bigskip

Dans un plan muni du repère orthonormé \Oij,
on considère les points A, B, C, D et E tels que

\[\vect{\text{OA}} = 8\vect{\imath} ; \quad \vect{\text{OB}} = 4\vect{\imath} + 4\vect{\jmath} ; \quad\vect{\text{OC}} = 6\vect{\imath} + 6\vect{\jmath} ; \quad\vect{\text{OD}} = 10\vect{\imath} + 2\vect{\jmath} ; \quad\vect{\text{OE}} = 2\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit I le milieu du segment [AB] calculer les coordonnées de I.
\item Démontrer que le triangle (B, A, D) est un triangle rectangle.
\item Démontrer que l'on a $\vect{\text{AB}} = \vect{\text{DC}}$ et que (A, B, C, D) détermine un rectangle.
\item Démontrer que les points B et E sont les milieux respectifs des segments [EC] et [OB]. 

Démontrer que (E, B, D, A) et (O, E, D, A) déterminent des parallélogrammes.
\item Soit $\mathcal{S}$  la symétrie centrale de centre I.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les images par $\mathcal{S}$ des points E et B ?
		\item On appelle F l'image par $\mathcal{S}$ du point C. 
		
Démontrer que D, A et F sont alignés et que (E, F, D, C) détermine un carré.
		\item La droite parallèle à la droite (OA) menée par B coupe la droite (FD) au point H.
		
Démontrer que l'image par $\mathcal{S}$ du point O est le point H.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}