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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small septembre 1986}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon septembre 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Parmi les nombres suivants, lesquels sont positifs ? Justifier vos affirmations.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
$a =-3 + \dfrac{10}{4}$&$b = \dfrac83 - \left(\dfrac{11}{4} \times \dfrac{3}{22}\right)$\\
$c = -\dfrac{1}{\sqrt{0,2}} - \sqrt{0,1}$&$d = |15,7| + |- 6,5|$.\\
e = 0,001 - 0,01 + 0,1.&\\
\end{tabularx}\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Résoudre l'équation $\dfrac x5 = \dfrac49$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre l'inéquation $\dfrac x2 + \dfrac34 > \dfrac{4x - 5}{6}$

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

Soit AJB un triangle rectangle en J et isocèle.

On donne JA = JB = 6. On désigne par D le milieu du segment [AB], par I le milieu du segment [BJ], par O le milieu du segment [IJ].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la figure, en prenant comme unité de longueur le centimètre.
\item Démontrer que les droites (DI) et (AJ) sont parallèles.
\item On désigne par F le symétrique de D par rapport au point O.

Démontrer que le quadrilatère DIFJ est un parallélogramme.

Déduire de ce qui précède que les points A, J, F sont alignés.
\item La parallèle à la droite (AB), passant par F, coupe la
droite (DI) en E.

Démontrer que la droite (AE) passe par le point O.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Paul fait un trajet de 30~kilomètres à bicyclette. Son
mouvement est représenté par le graphique ci-après.

L'axe des ordonnées correspond à la distance parcourue, exprimée en kilomètres.

L'axe des abscisses correspond à la durée mise pour la parcourir, exprimée en minutes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décrire le mouvement de Paul en reproduisant et en complétant le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash\small }X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Pendant les 60 premières minutes&Pendant les 60 minutes
suivantes&Pendant les 45 dernières
minutes\\ \hline
Distance parcourue (km)&&&\\ \hline
Vitesse de Paul (km/h)&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Un deuxième cycliste, Pierre, effectue le même trajet et part en même temps que Paul. 

La distance $y$ (en kilomètres) qu'il parcourt pendant une durée $x$ (en minutes) est donnée par

\[y = \dfrac 16 x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique, tracer la droite d'équation $y = \dfrac 16 x$.
		\item Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection de cette droite avec la ligne polygonale OABC.
		\item En déduire à quelle distance du point de départ Pierre dépasse Paul et à quelle distance du point de départ Paul dépasse Pierre.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-10,-3)(200,35)
\multido{\n=0+5}{41}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,35)}
\multido{\n=0+2.5}{15}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(200,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=30,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(200,35)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(60,15)(120,15)(165,30)
\uput[u](185,0){(en minutes)}\uput[r](0,33){(en kilomètres)}
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](60,15){A} \uput[dr](120,15){B} \uput[ur](165,30){C}
\psline[linestyle=dashed](60,0)(60,15)(0,15)
\psline[linestyle=dashed](120,0)(120,15)
\psline[linestyle=dashed](165,0)(165,30)(0,30)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}