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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Diplôme national du brevet Collège}
\lfoot{\small{Dijon}}
\rfoot{\small{septembre 1990}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Dijon septembre 1990~\decofourright}}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

$x$ est un nombre ; soit

\[A = (2x - 3)^2 +(x - 3) (2x - 3).\]

\begin{enumerate}
\item Développer $A$ et l'écrire sous forme simplifiée.
\item Mettre $(2x - 3)$ en facteur dans $A$.
\item Calculer $A$ pour :

$x = - 2$,

$x = \dfrac34$ ; on donnera le résultat sous forme décimale ;

$x = \sqrt 3$, ne pas donner de valeur approchée.
4
\item Résoudre l'équation

\[(2x- 3)(x- 2) = 0.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un commerçant vend seulement $360$ francs un blouson dont le prix de vente marqué était $450 $francs.

\medskip

Calculer :
	\begin{enumerate}
		\item Le montant de la réduction.
		\item Le pourcentage de la réduction par rapport au prix marqué.
	\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère le schéma ci-dessous (il n'est pas à l'échelle) 

AH $= 1,5$ ; BH $= 2$ ; BM $= 1,2$.

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
La droite (AH) et la droite (NM) sont perpendiculaires à la droite (BM).

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite (MN) est parallèle droite (AH).
\item Calculer $\dfrac{\text{BM}}{\text{BH}}$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.6)(6.2,4.3)
\pspolygon(0.5,0.2)(6,0.2)(0.5,3.9)%HBA
\psline(2.6,0.2)(2.6,2.5)%MN
\uput[ul](0.5,3.9){A} \uput[dr](6,0.2){B} \uput[d](0.5,0.2){H} \uput[d](2.6,0.2){M} \uput[ur](2.6,2.5){N} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

En déduire (en précisant la propriété utilisée) la valeur de $\dfrac{\text{MN}}{\text{AH}}$

Calculer MN.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$x$ est un nombre. On pose

\[y = - 0,12x + 18.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $y$ pour $x = 0$.

Calculer $x$ pour $y = 0$.
\item Représenter la droite $(D)$ d'équation $y = 0,12x + 18$.

Le dessin sera fait sur le système d'axes (O$x$, O$y$) ci-dessous :

1 centimètre représente 10 unités sur l'axe des abscisses ; 1 centimètre représente 1 unité sur J'axe des ordonnées.

\begin{center}
\psset{xunit=0.06cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-2)(170,22)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=30,Dy=5,ticks,xsubticks=3,ysubticks=5](0,0)(0,0)(170,22)
\uput[u](170,0){$x$}
\uput[l](0,21.5){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Le point M d'abscisse 100 et d'ordonnée 10 est-il un point de la droite $(D)$ ?

Expliquer la réponse par le calcul.
\item Le point N d'abscisse 100 et d'ordonnée 6 est-il un point de la droite
$(D)$ ?

Expliquer la réponse par le calcul.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill \hfill 12 points}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

Soit un segment [BD] tel que BD $= 9$.

La médiatrice $(\Delta)$ du segment [BD] coupe ce segment en O.

Placer sur $(\Delta)$ un point A tel que BA $= 7,5$ et le point C (distinct de A) tel que BC $= 7,5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire un dessin soigné.
\item Démontrer que le quadrilatère ABCD a ses quatre côtés de même
longueur.
\item Démontrer que le triangle AOB est rectangle en O. Calculer AO.
\item Calculer le sinus de l'angle de sommet A du triangle BAO.

En déduire une valeur approchée en degrés, à $0,1$ près par défaut de cet angle.
\item Calculer l'aire du quadrilatère ABCD.
\end{enumerate}
\end{document}