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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small septembre 1991}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon septembre 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer et donner le résultat sous forme d'un entier ou d'une
fractionion irréductible:

\[A = \dfrac23 - (- 3) \times \dfrac79, \qquad  B = \dfrac{10^{-4} \times 2 \times 10^{12}}{ 10^9}\]

\item Écrire sous la forme $a\sqrt 2$ où $a$ est un entier:

\[ C= 5\sqrt{18}- 3\sqrt 2 + \sqrt 8\]

\item Développer et réduire $D$.

\[D = \left(2 + 3\sqrt 5\right)^2\]

\item Résoudre l'équation : 

\[\dfrac x3 = \dfrac{x - 5}{4}\]


\item Un sondage a été effectué pour connaître le nombre d'animaux familiers par foyer dans une commune.

Le résultat de cette enquête apparaît dans le graphique ci-dessous:

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.033cm}
\begin{pspicture}(10,250)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=2,Dx=100,Dy=250]{->}(0,0)(2,0)(10,250)
\uput[r](0,240){Nombre de foyers}
\uput[u](8.6,15){Nombre d'animaux }
\uput[u](8.6,0){familiers}
\psframe(2,0)(3,210)\uput[l](0,210){210}
\psframe(3,0)(4,180)\uput[l](0,180){180}
\psframe(4,0)(5,110)\uput[l](0,110){110}
\psframe(5,0)(6,70)\uput[l](0,70){70}
\psframe(6,0)(7,30)\uput[l](0,30){30}
\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(2,0)
\multido{\n=2.5+1.0,\na=0+1}{5}{\uput[d](\n,0){\na}}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Combien de foyers ont 3 animaux familiers? 
		\item Combien de foyers n'ont pas d'animaux?
		\item Combien de foyers ont été interrogés?
		\item Combien d'animaux ont été recensés dans l'ensemble des foyers ? 

Sachant que 40\,\% d'entre eux sont des chiens, calculer le nombre de chiens.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\emph{Les exercices 1, 2, 3 sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Un maçon utilise, pour vérifier l'orthogonalité de deux murs, une technique issue de l'Antiquité.

 À la même hauteur à partir du sol, il trace un point I à l'angle des murs, un point J sur l'un des murs à 0,50 m de I et un point K sur l'autre mur à $1,20$ m de I (voir le dessin).
 
Il affirme \og si la distance JK mesure 1,30 m, alors les deux murs sont perpendiculaires \fg.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.6,7.4)
\psline(0,4.7)(3.3,7)(8.5,7)
\psline(0,4.3)(3.3,6.6)(8.5,6.6)
\psline(3.3,6.6)(3.3,2.5)(8.5,2.5)
\psline(3.3,2.5)(0,0)
\end{pspicture}
\end{center}
Que pensez-vous de sa méthode ?

Justifiez votre réponse en énonçant avec précision le théorème utilisé.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne un triangle DEF tel que :

DE $= 9$ cm ; DF $= 12$ cm ; FE $= 6$ cm,

G est un point du segment [DF] tel que DG $= 10$ cm,

H est un point du segment [DE] tel que DH $= 7,5$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire cette figure en vraie grandeur.
\item Calculer les rapports $\dfrac{\text{DG}}{\text{DF}}$ et $\dfrac{\text{DH}}{\text{DE}}$ puis les comparer.

Que peut-on affirmer ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.68\linewidth}
Sachant que le solide représenté ci-contre est un cube, la
mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{CAF}}$ est-elle :

\[90\degres \quad 60\degres \quad 45\degres\:\: ?\]

Justifier votre réponse.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.8,4)
\psframe(0.2,0.2)(2.5,2.5)%DCBA
\psline(2.5,0.2)(3.5,1.1)(3.5,3.4)(2.5,2.5)%CGFB
\psline(3.5,3.4)(1.2,3.4)(0.2,2.5)%FEA
\pspolygon(0.2,2.5)(2.5,0.2)(3.5,3.4)%ACF
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.2,1.1)(3.5,1.1)%DHG
\psline[linestyle=dashed](1.2,3.4)(1.2,1.1)%EH
\uput[l](0.2,2.5){A} \uput[r](2.5,2.5){B} \uput[d](2.5,0.2){C} \uput[d](0.2,0.2){D}
\uput[u](1.2,3.4){E} \uput[ur](3.5,3.4){F} \uput[r](3.5,1.1){G} \uput[l](1.2,1.1){H}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

Observer ce croquis :

\begin{itemize}
\item le segment [AB] a pour longueur $10$ ,
\item le point M est sur le segment [AB],
\item le triangle AMS est équilatéral,
\item le triangle BMT est isocèle (TB = TM $= 8$).
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7.5,7)
\pspolygon(0,1.3)(1.35,3.638)(2.7,1.3)(4.8,6.7)(6.9,1.3)%ASMTB
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,1.1)(2.7,1.1) \uput[d](1.4,1.1){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.7,0.6)(6.9,0.6)\uput[d](4.8,0.6){$10$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5,6.75)(7.1,1.3)\uput[ur](6.35,4){$8$}
\psline(0.5,2.5)(0.7,2.4)\psline(2.1,2.5)(1.9,2.4)\psline(1.3,1.4)(1.1,1.2)
\psline(3.7,4.1)(3.9,3.9)\psline(3.8,4.1)(4,3.9)
\psline(5.9,4.1)(5.7,3.9)\psline(5.8,4.1)(5.6,3.9)
\uput[d](0,1.3){A} \uput[d](6.9,1.3){B} \uput[d](2.7,1.3){M} \uput[u](1.35,3.638){S} \uput[u](4.8,6.7){T}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On appelle $x$ la longueur du segment [AM].
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le périmètre du triangle AMS en fonction de $x$.
		\item Exprimer MB en fonction de $x$.
		\item Justifier (par un calcul) que le périmètre du triangle BMT est égal à $26 - x$.
	\end{enumerate}
\item Dessiner un repère où les axes sont perpendiculaires. On choisira pour unités : 

1 cm sur l'axe des abscisses

0,5 cm sur l'axe des ordonnées.
	\begin{enumerate}
		\item Dans ce repère, tracer la droite $\left(D_1\right)$ d'équation $y =- 3x$.
		\item Dans le même repère, tracer la droite $\left(D_2\right)$ d'équation $y = 26 - x$.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du graphique de la question 2., trouver une valeur de $x$ (éventuellement approchée) pour laquelle les triangles AMS et BMT ont le même périmètre.
		\item À l'aide de la question 1., écrire une équation qui permet de trouver la valeur exacte de $x$ pour laquelle les deux triangles AMS et BMT ont le même périmètre.
		\item Résoudre cette équation et comparer la solution obtenue avec la valeur trouvée en 3.a.
		\item Faire le dessin correspondant au croquis de la question 1. en respectant les dimensions indiquées et en plaçant M de telle façon que les triangles AMS et BMT aient le même périmètre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}