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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Dijon juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer \np{7056} en produit de facteurs premiers.

En déduire que $\sqrt{\np{7056}} = 84$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation
\[x^2 = \np{7056}.\]
\item Résoudre dans $\R$ l'équation
\[x^2 - 2x + 1 = \np{7056}.\]
\item Résoudre dans $\R$ l'équation
\[x\left(x^2 - 2x + 1\right) = \np{7056}x.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le système d'équations suivant
\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x +2y &=&4,\\
- 2x + y &=& 9.
\end{array}.\right.\]

Soit $E_1$ l'ensemble des solutions dans $\R^2$ de la première équation et $E_2$ l'ensemble des solutions dans $\R^2$ de la deuxième équation.

Montrer que
\begin{center}$(4~;~-4) \in E_1$\quad et \quad $(5~;~3) \notin E_2$.\end{center}

Déterminer $E_1 \cap E_2$.
\item Dans le plan muni du repère orthonormé \Oij, on considère les droites $(D)$ et $(L)$, d'équations respectives suivantes : 
\[\begin{array}{l l c l}
(D)& 3x+2y- 4&=&0,\\
(L)& 2x - y + 9 &=&0
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection A.
		\item Construire $(D)$ et $(L)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un plan euclidien $(P)$, l'unité de longueur étant 1~cm, on considère deux points distincts donnés A et B.

Soit I le milieu de (A, B) et H un point quelconque de la droite (AB).

\medskip

\textbf{A.~} Rappeler pourquoi on a le droit d'écrire

$\overline{\text{HA}} = \overline{\text{HI}} + \overline{\text{IA}},\quad \overline{\text{HB}} = \overline{\text{HI}} + \overline{\text{IB}}, \quad \overline{\text{IA}} + \overline{\text{IB}} = 0$.

En déduire que l'on a
\[\text{HA}^2 - \text{HB}^2 = 2 \overline{\text{IH}} \times \overline{\text{AB}}.\]

\medskip

\textbf{B.~}Soit M un point quelconque du plan se projetant orthogonalement en $m$ sur la droite (AB).

Montrer que, quel que soit M, élément de $(P)$, on a
\begin{center}$\text{MA}^2 = \text{M}m^2 + m\text{A}^2$ \quad et\quad $\text{MB}^2 = \text{M}m^2 + m\text{B}^2$.\end{center}

En déduire que, quel que soit M, élément de $(P)$, on a
\[\text{MA}^2 - \text{MB}^2 =2\overline{\text{I}m} \times \overline{\text{AB}}.\]

\textbf{C.~}On suppose que la droite (AB) est support d'un axe tel que $\overline{\text{AB}} = 10$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'ensemble $E$, des points M du plan $(P)$ tels que $\text{MA}^2 - \text{MB}^2 = 30$, est la perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point C de la droite (AB) défini par
\[\overline{\text{IC}} = \dfrac32.\]

\item Calculer $\overline{\text{AC}}$ et $\overline{\text{CB}}$.
\end{enumerate}

\textbf{D.~}

\begin{enumerate}
\item On suppose qu'il existe au moins un point D
de $E$ tel que
\[\text{DA}^2 + \text{DB}^2 = 100.\]
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, nécessairement, le triangle (A, B, D)
est rectangle en D.
		\item En déduire que, nécessairement, on a
\[\text{CD} = \dfrac{\sqrt{91}}{2}.\]
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $F$ des points M de E tels que
\[\text{MA}^2 + \text{MB}^2 = 100.\]
\end{enumerate}
\end{document}