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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Dijon juin 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{I.}

\begin{enumerate}
\item Soit les fonctions polynômes $f$ et $g$ de la variable $x$, de $\R$ vers $\R$, données par

\[\begin{array}{l c l }
f(x) &=& (2x + 1) (7x + 2)^2 - (2x + 1) (5x + 1)^2\\
g(x) &=& 2x (1 - 2x) (12x + 3) + (12x + 3) (1 - 2x)
\end{array}\]

Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de polynômes du premier degré.
\item On considère les fonctions rationnelles $p$ et $r$ de la variable $x$, de $\R$ vers $\R$ , données par

\[p(x) = \dfrac{1 - 2x}{1 + 2x} \quad \text{et}\quad r(x) = \dfrac{(1 - 2x)(1 + 2x)(12x + 3)}{3(2x+ 1)^2(4x+ 1)}\]

Calculer $p\left(\dfrac{1}{3}\right)$ et $p\left(\dfrac{1}{18}\right)$.

Montrer que le produit $\sqrt{p\left(\dfrac{1}{3}\right)} \cdot \sqrt{p\left(\dfrac{1}{18}\right)}$ est un nombre décimal. 

Montrer que la différence $p\left(\sqrt{5}\right) - r\left(\sqrt{5}\right)$ est un nombre entier.
\item Construire dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij{} d'axes O$x$ et O$y$ les représentations graphiques des deux fonctions affines de $\R$ vers $\R$ 

\[ x \longmapsto - 2x + 1\qquad \text{et}\qquad  x \longmapsto 2x + 1.\]

Déterminer graphiquement, puis par le calcul, les coordonnées de leur point d'intersection.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II.} \emph{Faire une figure. (Unité }: $1$ cm).

\medskip

Le plan est muni du repère orthonormé \Oij. 

On donne les points P{}, R, M, L tels que

\[\begin{array}{l  c r c l c r}
\vect{\text{OP}} &=& - 2\vect{\imath} + 2\vect{\jmath} \qquad &;&\qquad  \vect{\text{OR}} &=&  2\vect{\imath} + 6\vect{\jmath}\\
\vect{\text{OM}} &=& 6\vect{\imath} + 2\vect{\jmath} \qquad &;&\qquad  \vect{\text{OL}} &=&  2\vect{\imath} - 2\vect{\jmath}\\
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Vérifier les égalités suivantes :

\[\begin{array}{l  c l }
\vect{\text{PO}} + \vect{\text{OR}} &=&4\vect{\imath} + 4\vect{\jmath}\\
\vect{\text{LO}} + \vect{\text{OM}}&=&4\vect{\imath} + 4\vect{\jmath}
\end{array}\]

En déduire que (P, R, M, L) est un parallélogramme.
\item Calculer la norme de chacun des vecteurs $\vect{\text{RL}}, \vect{\text{MR}}, \vect{\text{ML}}$. 

En déduire que le triangle (L, M, R) est rectangle et isocèle.
\item Le point E est le symétrique du point M par rapport à R. 

On désigne par K le milieu de (R, L).

Montrer que la droite (EP) est parallèle à la droite (RL).
\item A est le point d'intersection des droites (EP) et (ML).

 Montrer que L est le milieu de (M, A).
\item Montrer que la droite (MP) est la médiatrice des segments [RL] et [EA] .
\end{enumerate}
\end{document}