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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1995}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small juin 1995}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1995 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Ecrire sous forme d'une fraction irréductible :

\[A = \dfrac{7}{12} - \dfrac{11}{54} \times \dfrac{45}{22}\]

\item Écrire sous la forme $a \sqrt b$ , $a$ et $b$ étant deux nombres entiers, $b$ le plus petit possible: 

\[B = 2 \sqrt 3 + \sqrt{75} - 6 \sqrt{27} \quad ;\quad  C = 2 \sqrt 3 \times  \sqrt 6\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 4,5 points}

\medskip

On donne l'expression : $D = (3x - 1)^2 - (3x- 1)(2x - 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Calculer la valeur numérique de $D$ pour $x = - 0,1$.
\item Factoriser $D$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 3,5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système d'équations d'inconnues $x$ et $y$ :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
\phantom{40}x + \phantom{35}y&=&24\\
40x + 35y &=& 910
\end{array}\right.\]

\item Antoine achète, à la foire de Dijon, une caisse de $24$ bouteilles de vin. Ce carton contient des bouteilles de vin rouge à $40$ F l'une et des bouteilles de vin blanc à $35$~F l'une. 

Antoine ayant versé \np{1000} F{}, on lui rend $90$ F{}.
	\begin{enumerate}
		\item Mettre le problème en équations.
		\item Combien Antoine a-t-il acheté de bouteilles de chaque sorte ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture}(4.6,3.6)
\renewcommand\Proprieter{\psset{linecolor=red,linewidth=1.5pt}}
\renewcommand\Proprieteb{\psset{linecolor=blue,linewidth=1.5pt}}
%\psgrid
\Proprieter
\psline(3.7,3.3)(0.3,1.9)(2.8,0.3)(1.8,2.53)%DBCA
\Proprieteb
\psline(2.6,3)(2.7,2.7)\psline(2.7,3.05)(2.8,2.75)
\psline(2.1,1.5)(2.4,1.7)\psline(2.15,1.4)(2.45,1.6)
\uput[u](1.8,2.53){A} \uput[l](0.3,1.9){B} \uput[d](2.8,0.3){C} \uput[ur](3.7,3.3){D}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Faire un tracé exact de la figure ci-dessus sachant que : 

BD $= 10,5$~cm ; AD = AC = 6~cm ; BC $= 7,5$~cm.
\item Quelle semble être la nature du triangle ABC ? Démontrez-le !
\item Par le point D, tracer la parallèle à la droite (BC) ; elle coupe la droite (AC) en E.

Calculez AE.
\item Construire le point F, transformé du point B par la translation de
vecteur $\vect{\text{AC}}$.

 Quelle est la nature du quadrilatère ABFC ? Justifiez votre réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Dans un repère orthonormal, on considère les points :

\[\text{A}(5~;~1) \quad ; \quad \text{B}(- 1~;~- 1)\quad ;\quad  \text{C}(0~;~6).\]


\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point M, milieu du segment [AB].
\item Calculer AC (on donnera la valeur exacte sous la forme $a\sqrt{b}$.

On trouverait de même que BC $= 5 \sqrt{2}$ et AB $= 2 \sqrt{10}$.
\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

Les unités sont le centimètre et ses unités associées : cm$^2$, cm$^3$.

\medskip

Un récipient cylindrique a un volume de \np{1500}~cm$^3$ et contient $1$~ litre
$= \np{1000}$~cm$^3$ d'eau, ce qui le remplit jusqu'aux $\dfrac23$ de sa hauteur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une barre a la forme d'un parallélépipède rectangle. L'aire de sa base est de 16 cm$^2$ et sa hauteur est de $36$~cm. Calculer le volume de la barre.
\item On plonge cette barre, verticalement, dans le récipient et on appelle $x$ la hauteur de la partie immergée de la barre. En observant la figure 2 on remarque que $0 \leqslant x \leqslant 36$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en fonction de $x$ , le volume $V_1$ de la partie immergée de la barre.
		\item Montrer que le volume $V_2$ de la partie immergée de la barre et de l'eau est donnée par $V_2 = 16 x + \np{1000}$.
		\item Calculer $V_2$ pour $x = 25$.
		\item Représenter graphiquement le volume $V_2$ en fonction de $x$ . On prendra :
\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 5 mm comme unité graphique sur l'axe des abscisses ($5$ mm représentent donc une variation d'une unité de $x$) ;
\item[$\bullet~~$] 1 cm pour représenter $100$ cm$^3$ de $V_2$ sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\end{enumerate}
\item  On se propose d'étudier ce qui se passe lorsqu'on continue d'enfoncer verticalement la barre dans l'eau. 

On suppose que la hauteur du récipient est $40$~cm. Il y a alors trois possibilités.

\emph{Première possibilité} : avant que l'eau ne déborde du récipient et que la barre soit entièrement immergée, celle-ci bute sur le fond du récipient. 

\emph{Deuxième possibilité} : avant que l'eau ne déborde, la barre est entièrement immergée dans l'eau.

\emph{Troisième possibilité} : à un moment donné, l'eau va déborder du récipient.
	\begin{enumerate}
		\item Combien vaut $V_2$ lorsque le récipient se met à déborder ? 
		
Lire sur le graphique la valeur approximative correspondante de $x$ . 

Calculer la valeur exacte de $x$ en résolvant l'équation : $16x + \np{1000} = \np{1500}$.
		\item En déduire laquelle des trois possibilités est conforme à la réalité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.5,8.5)
%\psgrid
\psellipticarc(1.5,1.5)(1.5,0.8){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](1.5,1.5)(1.5,0.9){0}{180}
\psellipticarc(1.5,5)(1.5,0.8){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](1.5,5)(1.5,0.9){0}{180}
\psellipse(1.5,7)(1.5,0.8)
\psline(0,1.5)(0,7)\psline(3,1.5)(3,7)

\rput(1.5,0){Figure 1}
\psellipticarc(6.5,1.5)(1.5,0.8){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](6.5,1.5)(1.5,0.9){0}{180}
\psellipticarc(6.5,5)(1.5,0.8){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](6.5,5)(1.5,0.8){0}{180}
\psellipse(6.5,7)(1.5,0.8)
\psline(5,1.5)(5,7)\psline(8,1.5)(8,7)
\rput(6.5,0){Figure 2}

\psframe(6.1,3.4)(6.9,7.9)
\psline(6.9,3.4)(7.1,3.9)(7.1,8.4)(6.9,7.9)
\psline(6.1,5.1)(6.9,5.1)(7.1,5.6)
\psline(7.1,8.4)(6.3,8.4)(6.1,7.9)
\psline[linestyle=dashed](7.1,5.6)(6.3,5.6)(6.1,5.1)
\psline[linestyle=dashed](6.1,3.4)(6.3,3.9)(6.3,8.4)
\psline[linestyle=dashed](6.9,3.4)(9,3.4)
\psline[linestyle=dashed](6.9,5.1)(9,5.1)
\psline[linestyle=dashed](6.9,7.9)(9,7.9)
\psline[linestyle=dashed](6.3,3.9)(7.1,3.9)
\psline[linewidth=0.7pt]{<->}(8.3,3.4)(8.3,5.1)\uput[r](8.3,4.25){$x$}
\psline[linewidth=0.7pt]{<->}(8.8,3.4)(8.8,7.9)\uput[r](8.8,5.65){36}
\end{pspicture}	
\end{center}
\end{document}