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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Dijon}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et mettre le résultat sous forme de fraction irréductible : 

\[A = \dfrac{3}{14}  + \dfrac{5}{21} ;\qquad   B = \dfrac23 - \dfrac73 \times  \dfrac{9}{14} ; \qquad   C = \dfrac{2^3}{3^2} : \dfrac{2^4}{3}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression $D = (2x - 7)^2 - 36.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Calculer la valeur exacte de $D$ quand $x = \sqrt{2}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Pour la rentrée scolaire, Julie achète quatre cahiers et un classeur souple pour $32,50$ F.

Bertrand achète trois cahiers et deux classeurs souples pour $42,50$ F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire un système d'équations traduisant les données précédentes.
\item Résoudre ce système pour trouver le prix d'un cahier et d'un classeur souple.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Voici un tableau donnant le prix de deux voitures A et B dans deux pays :

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}
\multicolumn{2}{c}{VOITURE A}\\ \hline
PAYS&FRANCE\\ \hline
MONNAIE&Franc français FF\\ \hline
PRIX HORS TAXES &\np{57100} FF\\ \hline
TAXES (en \,\%)& 21\,\%\\ \hline
PRIX TAXES COMPRISES& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{minipage}\hspace{0.4cm}
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}
\multicolumn{2}{c}{VOITURE B}\\ \hline
PAYS &BELGIQUE\\ \hline
MONNAIE&Franc belge FB\\ \hline
PRIX HORS TAXES&\np{320000} FB\\ \hline
TAXES (en \,\%)& \\ \hline
PRIX TAXES COMPRISES&\np{308800} FB\\ \hline
\end{tabularx}
\end{minipage}

\emph{Les taxes s'appliquent aux prix hors taxes.}


\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le prix en francs français, taxes comprises, de la voiture A ?
\item Quel est le montant des taxes (en \,\%) en Belgique ?
\item Sachant que 1 FB $= 0,16$ FF, quelle est la voiture la moins chère ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABCet CDE sont deux triangles équilatéraux de côté 3 cm. A, C et E sont
alignés.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.5,3)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(1.25,2.165)(2.5,0.2)(3.75,2.165)(5,0.2)%ABCDEA
\uput[ul](0.2,0.2){A} \uput[l](1.25,2.165){B} \uput[d](2.5,0.2){C}
\uput[u](3.75,2.165){D} \uput[r](5,0.2){E}
%\psline(0,1.55)(2.2,1.55)
%\psline(2,3.1)(2,0.8)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure exacte, en respectant les longueurs données et la compléter au fur et à mesure.
\item Prouvez que les point S A, B,
D, E sont sur un même cercle;
indiquez le centre et le rayon
de ce cercle. A
\item  Prouvez que ABE est un triangle rectangle.
\item Calculez les mesures des côtés et des angles du triangle
ABE.
\item Prouvez que BCD est un triangle équilatéral.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.56\linewidth}
[AD) est un diamètre d'un puits de forme cylindrique.

Le point C est à la verticale de D, au fond du puits.

Une personne se place en un point E de la demi-droite [DA) de sorte que ses yeux soient alignés avec les points A et C. 

On note Y le point correspondant aux yeux de cette personne.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(5.2,5)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=vlines](0,1.9)(4.6,1.9)(5,3.9)(0.4,3.9)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](2.3,2.9)(0.9,0.5)
\psellipse(2.3,0.7)(0.9,0.5)
\psline[linestyle=dashed](1.4,2.9)(1.4,0.7)\psline[linestyle=dashed](3.2,2.9)(3.2,0.7)
\psline[linestyle=dashed](1.77,2.5)(1.77,0.3)
\psline(1.77,2.5)(3.2,3.6)(3.2,4.5)(1.77,0.3)%DEYC
\uput[dr](2.75,3.3){A} \uput[d](1.77,0.3){C} \uput[u](1.77,2.5){D} \uput[r](3.2,3.6){E} 
\uput[ul](3.2,4.5){Y} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

On sait que :

AD = 1,5 m\qquad EY = 1,7 m \qquad EA = 0,6 m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (DC) et (EY) sont parallèles. 
\item Calculer DC, profondeur du puits.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{minipage}{0.66\linewidth}
L'unité de mesure est le centimètre.
On considère le cube ABCDEFGH dont les arêtes mesurent 6 cm. 

Sur l'arête [DH] on considère un point S tel que DS $= x$.
\end{minipage}\hfill 
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3.7)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(2.5,2.5)%ABFE
\psline(2.5,0.2)(3.3,1)(3.3,3.3)(2.5,2.5)%BCGF
\psline(3.3,3.3)(1,3.3)(0.2,2.5)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1,1)(3.3,1)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1,1)(1,3.3)%DH
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](2.5,0.2){B} \uput[r](3.3,1){C} \uput[l](1,1){D}
\uput[l](0.2,2.5){E} \uput[r](2.5,2.5){F} \uput[r](3.3,3.3){G} \uput[ul](1,3.3){H}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume du cube en cm$^3$.
\item Entre quelles limites peut-on faire varier $x$ ?
\item On considère les deux pyramides :

$\bullet~~$$P_1$ de sommet S et de base ABCD; 

$\bullet~~$$P_2$ de sommet S et de base EFGH.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le volume en cm$^3$ de $P_1$ s'écrit : $V_1(x) = 12x$ et que le volume en cm$^3$ de $P_2$ s'écrit : $V_2(x) = 72 - 12x$.
		\item Représenter graphiquement les deux fonctions $V_1$ et $V_2$ dans un repère orthogonal pour $x$ compris entre 0 et 6 (on prendra 1 cm pour unité graphique en abscisse et 1 cm pour 5 cm$^3$ en ordonnée).
		\item Calculer le volume restant dans le cube lorsqu'on a enlevé les deux pyramides. 
		
Quelle remarque peut-on faire ?
	\end{enumerate}	
\item Déterminer graphiquement le volume de la pyramide SEFGH lorsque la pyramide SABCD a un volume de 50 cm$^3$ (on pourra d'abord déterminer la valeur de $x$ correspondant à $V_1(x) = 50$).
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur de $x$ pour que $V_1(x) = \dfrac12 V_2(x)$ et déterminer alors ces deux volumes.
		\item Vérifier ce résultat sur le graphique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}}