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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small septembre 1988}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon septembre 1988 \decofourright}}\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie }

\medskip

L'unité de longueur est le mètre et l'unité de volume est le mètre cube.

Dans tout le problème. on prendra obligatoirement pour $\pi$ la valeur approchée $3,14$.

\medskip

Le dessin ci-après (fig. 1) représente une cuve formée par un cylindre droit et une demi-sphère de même rayon. Les dimensions sont indiquées sur une coupe de cette cuve (fig. 2).

\[R = \dfrac32.\]

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(6.8,5.4)
\psellipse(1.2,4.8)(1.2,0.3)
\psellipticarc(1.2,4)(1.2,0.3){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](1.2,4)(1.2,0.3){0}{180}
\psellipticarc(1.2,2.1)(1.2,0.3){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](1.2,2.1)(1.2,0.3){0}{180}
\psarc(1.2,2.1){1.2}{180}{360}
\psline(0,4.8)(0,2.1)\psline(2.4,4.8)(2.4,2.1)
\rput(1.2,0.1){Figure 1}
%%%
\psline(3.6,4.8)(3.6,2.1)
\psline(5.8,4.8)(5.8,2.1)
\psarc(4.7,2.1){1.1}{180}{360}
\psline(3.6,4)(5.8,4)
\psline[linestyle=dashed](3.6,2.1)(5.8,2.1)
\psline[linestyle=dashed]{<->}(6.4,4)(6.4,0.8)\uput[r](6.4,2.4){$x$}
\psline[linestyle=dashed]{<->}(4.8,2.1)(4.8,1)\uput[r](4.8,1.6){$R$}
\rput(4.7,0.1){Figure 2}
\end{pspicture}
\end{center}

La mesure de la hauteur de liquide dans cette cuve est le nombre $x$ positif ou nul.

On admettra que le volume $\mathcal{V}$ de liquide est donné par la formule:

\[\mathcal{V} = \pi R^2 x  - \dfrac{\pi R^2}{3}\quad \text{pour}\: x \in \R.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier. en utilisant la formule précédente, que 

\[\mathcal{V} =3,14 \times \dfrac94 \left(x - \dfrac12\right)\quad \text{pour}\: x\geqslant 5.\]

\item Calculer $\mathcal{V}$ pour $x = \dfrac53$. 

On écrira le résultat sous forme décimale.
\item Calculer $x$ pour $\mathcal{V} = 15,7$. 

En remarquant que $15,7 = 3,14 \times 5$, on écrira le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

On en donnera une valeur approchée à $0,01$ près par défaut.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième  partie}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.
On considère le triangle ABC tel que

BC $= 12$ ; \quad AB $= 6$ ;\quad AC $= 6\sqrt 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Prouver que le triangle ABC est rectangle en A.

Faire une figure soignée que l'on complétera au fur et à mesure.

On n'expliquera pas les constructions faites.

Calculer le cosinus de l'angle de sommet B de ce triangle.

En déduire la mesure en degrés de cet angle.
\item On appelle M le milieu du segment [BC] et R le point tel que M soit le milieu du segment [AR].

Placer le point R et démontrer que le quadrilatère ABRC est un rectangle.

Calculer BM et MA.

Quelle est la nature du triangle MBA ?
\item Soit P le milieu du segment [BM]. On projette P orthogonalement en H sur la droite (AB).

Calculer le quotient $\dfrac{\text{BP}}{\text{BC}}$.

Calculer BH.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

Le plan est muni d'un repère \Oij{} orthonormé.

L'unité sur les deux axes est le centimètre.

Soit les points A, B, A$'$, B$'$, C définis par

\[\vect{\text{OA}} = -4\vect{\imath} -2\vect{\jmath}\:;\:
\vect{\text{OB}} = -3\vect{\imath} + 6\vect{\jmath}\:;\: 
\vect{\text{OA}'} = -2\vect{\imath} + \vect{\jmath}\:;\:
\vect{\text{OB}'} = \dfrac32\vect{\imath} -3\vect{\jmath}\:;\:
\vect{\text{OC}} = 7\vect{\imath} -4\vect{\jmath}.\]

\begin{enumerate}
\item Prouver que les points O, A, A$'$ sont alignés.

Même question pour les points O, B, B$'$.

Tracer les droites (AC) et (BC).
\item Vérifier que A$'$ et B$'$ sont les milieux respectifs des segments [CB] et [CA]. 

En déduire que la droite (OC) est une médiane du triangle ABC.
\end{enumerate}
\end{document}