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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Dijon}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon septembre 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne $a = \dfrac{3}{10}$ et $b = - \dfrac{5}{18}$.

Écrire sous forme d'une fraction irréductible :

\[a + b \:;\qquad ab \:;\qquad  \dfrac ab.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser

\[E = (x + 200)^2  - x^2.\]

\item On pose $x = \np{1789}$, calculer $E$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Lors d'une analyse de sang, on a dénombré $5,2 \times  10^6$ globules rouges par mm$^3$ de sang.

Combien y a-t-il de globules rouges dans $3$~cm$^3$ de ce sang ?

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation

\[\dfrac{5,6 - 2x}{3} <  3,2\]

\item Quels sont les nombres entiers négatifs ou nuls solutions de
l'inéquation précédente ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit OAB un triangle rectangle en O tel que OA $= 3$ et OB $= 6$.
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure soignée que l'on complètera au fur et à mesure.
		\item Calculer AB (faire figurer les calculs sur la copie).
	\end{enumerate}	
\item Le cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon OA coupe la droite (OB) en deux points H et E (H étant un point du segment [OB]).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer BE.
		\item La tangente en E au cercle $\mathcal{C}$ coupe la droite (AB) en F{}.
		
Démontrer que les droites (OA) et (EF) sont parallèles.
		\item Calculer $\dfrac{\text{BO}}{\text{BE}}$. En déduire $\dfrac{\text{BA}}{\text{BF}}$.

		\item En prenant BA $= 3\sqrt 5$ et $\dfrac{\text{BA}}{\text{BF}} = \dfrac23$, calculer BF.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{ABO}}$.
		\item En déduire $\dfrac{\text{EF}}{\text{EB}}$.
		
Calculer EF.
	\end{enumerate}
\item Donner la valeur exacte de $\cos \widehat{\text{ABC}}$. 

Donner la valeur à près par défaut de $\widehat{\text{ABC}}$.
\item K se projette orthogonalement en L sur le côté [BC].
	\begin{enumerate}
		\item Utiliser le résultat du 4 pour calculer BL.
		\item En utilisant le résultat du 3, calculer KL.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

Dans un escalier, on appelle $x$ la profondeur et $y$ la hauteur de chaque marche.


\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(4.4,2.4)
%\psgrid
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(0,0.4)(2.1,0.4)(2.1,1.7)(4.2,1.7)(4.2,2.4)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0,0.5)(2.1,0.5)\uput[u](1.05,0.5){$x$}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(2.2,0.4)(2.2,1.7)\uput[r](2.2,1.05){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

La règle habituelle impose que l'on ait $x + 2y = 64$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $y$ en fonction de $x$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Dans un escalier A, chaque marche mesure $30$~cm de profondeur.

Quelle en est la hauteur? (Faire figurer les calculs sur la copie.)
		\item Dans un escalier B, chaque marche mesure 23 cm de hauteur.
Quelle en est la profondeur ? (Faire figurer les calculs sur la copie.)
	\end{enumerate}
\item Dans un repère orthogonal, on choisit les unités de la manière suivante :

\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses, $1$~cm pour $4$~unités (profondeur en cm) ; 
\item sur l'axe des ordonnées, $1$~cm pour $2$~unités (hauteur en cm). 
\end{itemize}

Tracer dans ce repère la droite $(\Delta)$ d'équation

\[y= - \dfrac12x + 32.\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique précédent, construire la droite $\left(\Delta'\right)$ d'équation 
		
\[y = \dfrac 56 x.\]

		\item Résoudre graphiquement le système d'équations
\renewcommand\arraystretch{2}	
\[\left\{\begin{array}{l c l}
y &=& - \dfrac12x + 32\\
y &=& \phantom{-}\dfrac 56 x
\end{array}\right.\]
\renewcommand\arraystretch{1}

\emph{Application} :

Quelle est la profondeur, quelle est la hauteur de chaque marche d'un escalier C, sachant que la hauteur est égale aux
$\dfrac 56$ de la profondeur ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}