\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Dijon septembre 1995},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1995}
\rfoot{\small Dijon }
\lfoot{\small septembre 1995}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon  septembre 1995 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer et écrire le résultat sous la forme d'une fraction aussi simple que possible :

\[A = \dfrac{\dfrac54 + \dfrac25}{2 - \dfrac75}.\]

\item Écrire $B$ sous la forme $a.\sqrt 7$.

\[B = 6\sqrt{28} + 10 \sqrt 7 - 8\sqrt{63}.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression : $E = 9x^2 - 16 - (2x - 3)(3x + 4)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $E$.
\item Factoriser $9x^2 - 16$ puis l'expression $E$.
\item Calculer la valeur numérique de $E$ pour $x = - 1,5$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un professeur a consigné les moyennes de ses élèves de 3\up{e} dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.25cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Moyenne $m$ &$0 \leqslant m \leqslant 5$& $5 \leqslant m \leqslant 10$&$10 \leqslant m \leqslant 15$&$15 \leqslant m \leqslant 20$\\ \hline
Effectif &3& 6& 18&3\\ \hline
Fréquence en \%&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quel est l'effectif total de cette classe ?
\item Reproduire le tableau et le compléter en calculant les fréquences. 
\item Quel est le pourcentage des élèves ayant au plus 15 de moyenne ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.
Soit un triangle ABC tel que : AB $= 5$ ; BC $= 7,5$ ; AC $= 8$.

D est le point du segment [AB] tel que: AD $= 2$.

La parallèle à la droite (BC)passant par D coupe la droite (AC) en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la figure. 
\item Calculer DE.
\item Démontrer que les angles $\widehat{\text{DEB}}$ et $\widehat{\text{EBC}}$ sont égaux.
\item Sachant que DE $= 3$, donner la nature du triangle DEB, puis en déduire
que la demi-droite [BE) d'origine B contenant le point E est la bissectrice 
de l'angle $\widehat{\text{DBC}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

ABCD est un rectangle tel que: AB $= 5$, $\widehat{\text{ADB}} = 30\degres$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4.8)
\psframe(0.5,0.5)(7,4.3)%ADCB
\psline(0.5,4.3)(7,0.5)
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[l](0.5,4.3){B} \uput[r](7,4.3){C} \uput[dr](7,0.5){D}
\uput[l](0.5,2.4){5}
\psarc(7,0.5){0.5}{150}{180}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer BD et montrer que AD $= 5\sqrt 3$.
\item Calculer l'aire exacte du rectangle
\item On considère la pyramide $P$, de sommet S, de base le rectangle précédent ABCD.

La hauteur (SO) de cette pyramide passe par le centre O du rectangle Er ABCD.

On donne SO $= 6$.

Calculer le volume de la pyramide $P$.
\item Soit le parallélépipède rectangle ABCDEFGH ayant même base et même hauteur que la pyramide $P$.

Comparer le volume de la pyramide $P$ et du parallélépipède ABCDEFGH.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

La station de sports d'hiver de \og La Plagne \fg{} est équipée d'un téléphérique pour permettre aux skieurs d'atteindre le massif de \og La Grande Rochette \fg.

En voici un schéma simplifié :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10.8,5)
\psline[linestyle=dashed](0,1.5)(10.8,1.5)
\psline(0,1.5)(7.8,4.4)
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(0,1.5)
\psline[linewidth=1.5pt](3.2,1.5)(3.2,2.72)
\psline[linewidth=1.5pt](6.2,1.5)(6.2,3.8)
\psline[linewidth=1.5pt](7.8,1.5)(7.8,4.4)
\uput[u](0,1.5){A}\uput[u](3.2,2.72){E}\uput[u](6.2,3.8){C}\uput[u](7.8,4.4){B}
\uput[d](0,0.2){Départ}\uput[r](7.8,4.2){Arrivée}
\psarc(0,1.5){0.5}{0}{20}\rput(1.3,1.7){$a$}
\uput[u](10,1.5){ligne horizontale}
\psframe(3.2,1.5)(3.4,1.7)\uput[d](3.2,1.5){E$'$}
\psframe(6.2,1.5)(6.4,1.7)\uput[d](6.2,1.5){C$'$}
\psframe(7.8,1.5)(8,1.7)\uput[d](7.8,1.5){B$'$}
\rput{20}(5,3.1){câble}
\end{pspicture}
\end{center}

Entre A et B, on considère que le câble est rectiligne. Il mesure $2,48$ km. Il est soutenu par 4 pylônes.

L'altitude au point A est \np{2100}~m. Au point B elle est de \np{2620}~m.

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le câble détermine avec l'horizontale un angle $a$. Calculer son sinus. 

Donner la mesure de l'angle $a$ arrondie à $0,1$ degré près.
\item Entre B et C, le câble mesure $380$ m.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la distance CC$'$ , puis l'altitude au point C (valeur arrondie à 1~m près).
		\item E est le milieu de [AC). Calculer EC et l'altitude au point E.
	\end{enumerate}	
\item Entre E et C, la cabine progresse à une vitesse constante de 6 mis. En combien de temps la cabine parcourt-elle la distance EC ? Donner ce résul- tat en minutes et secondes.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip 

Le document ci-joint est une représentation graphique qui donne la distance parcourue par la cabine (à partir de A) en fonction du temps écoulé depuis le début du trajet.

Entre M et N, le graphique est un segment de droite.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lire les coordonnées des points M et N. 

À quelles positions de la cabine correspondent-ils ?
\item Calculer le coefficient directeur de la droite (MN).
\item Que représente ce coefficient pour le déplacement de la cabine entre les pylônes E et C ?
\end{enumerate}
\end{document}