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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small septembre 1997}
\lfoot{\small Dijon}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Dijon septembre 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les nombres $A, B, C, D$ :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $A$ et $B$ sous forme de fraction irréductible.

\[A = \dfrac54 + \dfrac34 \times \dfrac89\,; \quad B = \dfrac{\left(\dfrac43\right)^2}{\dfrac{32}{45}}.\]

\item Donner la valeur de $C$ en notation scientifique.

\[C = \dfrac{2,1 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-2}}.\] 

\item Mettre $D$ sous la forme $a \sqrt 3$ où $a$ est un entier relatif.

\[D = 2\sqrt{27} 8\sqrt{48} + \sqrt{3}.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne $E= (4x- 3)^2 - (4x - 3)(3x + 2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer puis réduire $E$ 
\item Factoriser $E$
\item Résoudre l'équation $(4x - 3)(x - 5) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le diagramme circulaire ci-dessous donne les tailles t en centimètres des élè- ves d'un collège.

L'effectif total est de $500$ élèves.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.2,-2.5)(4.2,1.6)
%\psgrid
\pscircle(0,0){1.8}
\pswedge(0,0){1.8}{-18}{18}
\pswedge(0,0){1.8}{18}{90}
\pswedge(0,0){1.8}{90}{219.6}
\pswedge(0,0){1.8}{219.6}{306}
\pswedge(0,0){1.8}{-54}{-18}
\rput(-2.5,1.4){\footnotesize $145<t \leqslant 155$}
\rput(2.5,1.4){\footnotesize $135<t\leqslant 145$}
\rput(2.6,0){\footnotesize $125< t\leqslant 135$}
\rput(2.6,-1){\footnotesize $165<t\leqslant 175$}
\rput(0,-2){\footnotesize $155<t\leqslant 165$}
\rput(1;0){10\,\%}\rput(1;54){20\,\%}\rput(1;155){36\,\%}
\rput(1;263){26\,\%}\rput(1;-36){10\,\%}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
Tailles: $t$ en cm&$125< t\leqslant 135$&$135 < t\leqslant 145$&$145< t\leqslant 155$&$ 155 < t\leqslant 165$&$165 < t \leqslant 175$\\ \hline
\%&&&&&\\ \hline
Effectifs&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Combien d'élèves ont une taille inférieure ou égale à $155$ cm ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne un cône de révolution de sommet S et de hauteur SO $= 8$cm (voir figure ci-dessous).

Le rayon de la base est $3$ cm.

\emph{La figure n'est pas en vraie grandeur et on ne demande pas de la refaire}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.62,-1)(1.6,3)
%\psgrid
\psellipticarc(0,0)(1.4,0.45){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.4,0.45){0}{180}
\psline(-1.4,0.1)(0,2.8)(1.4,0.1)%BSA
\psline(0,2.8)(-0.4,-0.4)%SM
\uput[u](0,2.8){S} \uput[l](-1.4,0){B} \uput[r](1.4,0){A} \uput[d](0,0){O} \uput[dl](-0.4,-0.4){M}
\psline[linestyle=dashed](-1.4,0.1)(1.4,0.1)
\psline[linestyle=dashed](0,2.8)
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{Les  questions suivantes sont indépendantes}


\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur de la génératrice [SA).
Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à 0,1 cm.
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{OSA}}$ arrondie au degré.
\item Calculer le volume du cône en prenant pour $\pi$ la valeur approchée $3,14$.
\item Dessiner le disque de base en vraie grandeur, tracer le diamètre [AB] et placer sur le cercle un point M tel que AM $= 5$ cm.
\item Quelle est la nature du triangle AMB ? Justifier.
\item Soit E le point du rayon [OB] tel que OE $= 1$ cm.

Par E, tracer la parallèle à la droite (BM), elle coupe la droite (AM) en F.

Calculer la longueur AF, puis donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=5mm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(16,13)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\pspolygon[linewidth=1.25pt](6,8)(12,8)(12,2)(6,2)(8,6)%ABCDE
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](2,8)
\rput(9.5,5){\huge F}
\psarc{->}(13,10){2}{0}{80}
\uput[d](2,8){O} \uput[l](6,8){A} \uput[ur](12,8){B}
\uput[dr](12,2){C} \uput[dl](6,2){D} \uput[r](8,6){E}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Reproduire la figure {\huge F} ci-dessus sur une feuille quadrillée en plaçant le point O à mi-hauteur de la feuille et à 2 cm de la marge.
\item En utilisant uniquement le quadrillage
	\begin{enumerate}
		\item Construire les points R, K et S tels que:

\[\vect{\text{BR}} = \vect{\text{AE}}, \vect{\text{CK}} = \vect{\text{BA}} + \vect{\text{AE}}, \vect{\text{ES}} = \vect{\text{EA}} + \vect{\text{ED}}.\]

		\item Construire l'image $F_1$ de la figure {\huge F} par la translation de vecteur DB.
		\item Construire l'image $F_2$ de la figure {\huge F} par la rotation de centre O, d'angle  $90\degres$, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre c'est-à-dire dans le sens indiqué par la flèche.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

À un examen, un élève passe deux épreuves, chacune notée sur 20.

L'une est écrite (la note est désignée par $x$) et l'autre orale (la note est désignée par $y$). Les coefficients des épreuves sont respectivement 3 et 1.

La moyenne $m$ de l'élève est donc déterminée de la manière suivante:

\[m = \dfrac{3x + y}{4}\]

Pour être reçu à l'examen, il faut avoir une moyenne supérieure ou égale à 10.

\emph{Les questions $1$, $2$ et $3$ du problème sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la moyenne d'André qui a eu 8 à l'écrit et 12 à l'oral. Est-il reçu ? 
		\item Calculer la moyenne de Béatrice qui a eu 13 à l'écrit et 6 à l'oral. Est-elle
reçue ?
		\item Claude a 9 à l'écrit, quelle note lui faut-il au moins à l'oral pour être reçu ?
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on s'intéresse aux élèves qui sont reçus avec une moyenne égale à 10, c'est-à-dire pour lesquels $\dfrac{3x + y}{4} =10$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\dfrac{3x + y}{4} =10$ peut s'écrire $y= - 3x+ 40$.
		\item Dans un repère orthonormal, tracer la droite d'équation $y= - 3x+ 40$.
		
Dessiner le repère sur une feuille millimétrée en prenant $0,5$ cm pour unité graphique et en mettant l'origine en bas et à gauche.
		\item Denis a eu $12$ à l'écrit. À l'aide du graphique, déterminer sa note à l'oral.
		\item Émilie a eu $7$ à l'oral. À l'aide du graphique déterminer sa note à l'écrit.
		
Retrouver ce résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l c l}
3x+ y&=& 36\\
 x+ 3y&=& 48
 \end{array}\right.$
		\item Fabien n'est pas reçu, il a 9 de moyenne. Il s'aperçoit qu'en intervertissant ses notes d'écrit et d'oral, il aurait eu une moyenne de 12.

Quelles sont ses notes à l'écrit et à l'oral ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}