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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1982}
\rfoot{\small Djibouti}
\lfoot{\small juin 1982}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Djibouti juin 1982 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Soit l'application! de $\R$ dans $\R$ définie pour tout réel $x$ par

\[f(x) = (3x - 1)^2 + (x + 2)(6x - 2) - 9x^2 + 1.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer. réduire et ordonner $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Le plan étant muni d'un repère orthonormé, tracer les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respectives 

\[\left(D_1\right) :\quad  y = 3x - 1 \quad;\quad  \left(D_2\right): \quad y = 2x + 2.\]

Soit I le point d'intersection de $\left(D_1\right)$ et de l'axe des abscisses et J le point d'intersection de $\left(D_2\right)$ et de l'axe des abscisses. 

Calculer les coordonnées de I et J.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre. dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
		\item Interpréter graphiquement les solutions de cette équation.
	\end{enumerate}
\item Soit M le point d'intersection de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.

Calculer les coordonnées de M.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Soit un rectangle (A, B, C, D) tel que AB $= 3$ et BC $= \dfrac{3\sqrt 3}{2}$.

Soit O le milieu de [AB].

Construire le point E tel que le triangle (D, C, E) soit équilatéral et appartienne au demi-plan de bord (OC) ne contenant pas O.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances OC et OD.
\item Quelle est la nature du quadrilatère (D, O, C, E) ?

Que représente la droite (EO) pour le segment [OC] ?
\item Soit le point F du segment [CB] tel que CF $= \sqrt 3$ et le point G du segment [DA] tel que DG $= \sqrt 3$. Les droites (OF) et (GC) se coupent en J. 

Montrer que J appartient à la droite (EO).
\item Calculer les distances JF et OF. 

Quelle est la nature du quadrilatère (G, O, F, J) ?
\end{enumerate}
\end{document}