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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Djibouti juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip


\begin{enumerate}
\item On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par
\[f(x) = (2x + 3)^2 - (x + 1)^2.\]

Écrire $f(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs. 
\item Calculer $f(2,45)$.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $f(x) = 0$.
\item On considère l'application $g$ de $\R$ dans $\R$ définie par
\[g(x) = |x + 2| + 2x - 3.\]
Calculer $g(- 5),\: g(- 2)$ et $g(0)$.

Représenter graphiquement $g$ dans un plan, muni d'un repère orthonormé.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Soit A, B, C et D quatre points du plan euclidien tels que
\[\vect{\text{DA}} = \vect{\text{CB}}.\]

\begin{enumerate}
\item Faire un dessin illustrant la donnée.
\item Quelle est la nature de (A, B, C, D) ?

Que peut-on dire du point O commun aux segments
[AC] et [BD] ?
\item Les deux droites (AC) et (BD) sont maintenant
orthogonales.

En déduire que $d$(A, B) = $d$(C, D).

Quelle est la nature de (A, B, C, D) ?
\item Refaire un dessin sachant que $d$(A, C) $= 4$ et $d$(B, D) $= 8$ (unité de longueur : le centimètre).
\item Construire le point E tel que 
\[\vect{\text{CE}} = \dfrac12\vect{\text{AC}}.\]
\item Soit le repère \Oij{} tel que $\vect{\imath} = \vect{\text{OA}}$ et $\vect{\jmath} = \vect{\text{OB}}$.

Démontrer que les droites (DE) et (BE) sont perpendiculaires.
\item Calculer $d$(B, E) et $d$(D, E).
\item Soit la droite $(\Delta)$ parallèle à la droite (DE) et
contenant O.

Soit M le point commun aux droites $(\Delta)$ et (BE).

Quelles sont les coordonnées de M ?
\end{enumerate}
\end{document}