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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Djibouti}
\lfoot{\small juin 1978}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Djibouti juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire \np{4356} sous la forme d'un produit de réels premiers.
\item En déduire l'écriture décimale de $\sqrt{43,56}$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation
\[(x - 3,4)^2 = 43,56.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\Large Exercice 2}

\medskip

La fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ est définie par 
\[f(x) = (5x - 6)(2x - 3) - (2x - 3)^2 + 9 - 6x.\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$, puis l'équation $f(x) = 18$.

Montrer, dans les deux cas, que chaque solution est un nombre décimal.
\item Calculer $f\left(\sqrt 3\right)$.
\item Déterminer l'approximation décimale d'ordre 1 par défaut du nombre $f\left(\sqrt 3\right)$ (c'est-à-dire le décimal $d$ pouvant s'écrire avec un seul chiffre après la virgule tel
$d \leqslant f(3) < d + 0,1)$.

On rappelle que $1,732 \leqslant \sqrt 3 < 1,733$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\Large Exercice 3}

\medskip

On considère les deux fonction $f_1$ et $f_2$ de $\R$ dans $\R$ définies par

\[\begin{array}{l c l}
f_1(x) &=& \dfrac23 x + \dfrac43\\
f_2(x)& =& - 0,2x + 2,2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Construire avec précision les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$,
représentations graphiques des fonctions $f_1$ et $f_2$ dans un repère orthonormé \Oij{} du plan euclidien (l'unité de distance est le centimètre).
\item Le point A(4~;~4) est-il situé sur la droite $\left(D_1\right)$ ?
Le point B(6~;~1) est-il situé sur la droite $\left(D_2\right)$ ? Justifier les réponses.
\item Montrer que les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ sont sécantes et calculer les coordonnées de leur point d'intersection C (vérifier vos résultats sur la figure).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\Large Exercice 4}

\medskip

Dans le plan euclidien, où l'unité de distance est le centimètre, on considère le rectangle (A, B, C, D) et l'on donne AB $= 6$ et BC $= 4$.

I est le milieu du segment [CD] et P est le symétrique de B par rapport à I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que D est le milieu de [AP].
\item Calculer $d$(B, P), ou BP, et $d$(P{}, I), ou PI.
\item Calculer le cosinus de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ABP}}$ et le cosinus de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{DIP}}$.
\item Démontrer que les angles géométriques $\widehat{\text{ABP}}$, $\widehat{\text{DIP}}$ et $\widehat{\text{BIC}}$ sont égaux.
\item $\alpha$ désigne l'écart angulaire en degré de l'angle
géométrique $\widehat{\text{ABP}}$.

Déterminer la partie entière de $\alpha$ (c'est-à-dire
l'entier $n$ tel que $n \leqslant a < n + 1$).
\end{enumerate}
\end{document}



