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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Djibouti}
\lfoot{\small juin 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Djibouti juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit deux applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ telles que
\begin{center}$f(x) = - 3x + 4$\quad  et \quad $g(x) = 2x + 1$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R$, \:$f(x) \leqslant g(x)$.
\item Soit $h$ le polynôme tel que 
\[h(x) = 5x^2 - 28x + 15.\]

Vérifier que
\[h(x) = [f(x)]^2 - [g(x)]^2,\]
 puis factoriser $h(x)$.
\item Soit $F$ la fonction rationnelle de $\R$ dans $\R$ définie par
h(x)
\[F(x) = \dfrac{h(x)}{x^2 - 10x + 25}\]

	\begin{enumerate}
		\item Simplifier $F(x)$.
		\item Calculer $F\left(\sqrt 3\right)$. Rendre rationnel le dénominateur du résultat.
		\item Résoudre dans $\R$
\begin{center}$F(x)= 0$ et $F(x)< 0$.\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} on donne les points

\begin{center}A(-1~;~-2), \qquad  B$\left(\dfrac{11}{2}~;~-\dfrac{13}{2}\right)$, \qquad C(10~;~0).\end{center}

Faire un dessin qui sera complété au cours du problème.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les normes des vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AC}},\: \vect{\text{BC}}$.

Montrer que le triangle (A, B, C) est rectangle et isocèle.
\item Calculer les coordonnées du centre I du cercle $\mathcal{C}$ qui passe par les trois points A, B, et C.
\item Soit le vecteur $\vect{v} = -2\vect{\imath} + 11\vect{\jmath}$. 

Calculer les coordonnées du point D, image du point B par la translation de vecteur $\vect{v}$. 

Montrer que D est le symétrique de B par rapport à I. 

Quelle est la nature du quadruplet (A, B, C, D) ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la droite (OA).
		\item On considère la droite $(\Delta)$ d'équation
\[y = -\dfrac12 x + 5.\]

Vérifier que le point C appartient à $(\Delta)$.

Calculer les coordonnées du point E, intersection des droites $(\Delta)$ et (OA).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le triangle (A, C, E) est rectangle en E.
		
Le point E appartient-il au cercle $\mathcal{C}$ ?
		\item Encadrer par deux naturels consécutifs la
mesure, en degré, de l'angle $\widehat{\text{EAC}}$ du triangle (A, C, E) en utilisant le sinus de l'écart angulaire de cet angle (on se servira de l'extrait de table ci-dessous).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Sinus &0,766 &0,777 &0,788 &0,799 &0,809 &0,819\\ \hline
Degrés& 50 &51 &52 &53 &54 &55\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}