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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Djibouti}
\lfoot{\small juin 1983}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Djibouti juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$, par

\[\begin{array}{l l c l}
f :&\R&\to &\R\\
&x &\longmapsto&f(x) = (x + 3)^2 +(x + 3)(2x -1)\\
f :&\R&\to &\R\\
&x &\longmapsto&g(x) = (2x - 1)^2 - (x + 3)^2.\\
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$ puis résoudre $f(x) + g(x) = 0$.
\item Développer et réduire $f(x)$ et $g(x)$ puis résoudre

\[f(x) = g(x),\qquad  g(x) - f(x) < 7.\]

\item Calculer $f(-3),\: g(-3),\: f\left(\sqrt 2\right)\: \text{et}\: g\left(\dfrac{2}{\sqrt 3 - 1}\right)$.
\item Encadrer par deux nombres décimaux le nombre réel:

\[g\left(\dfrac{2}{\sqrt 3 - 1}\right) \qquad \text{sachant que} \qquad 
1,732 < \sqrt 3 < 1,733.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère \Oij{} orthonormé (l'unité a pour longueur $2$~cm) on marque les points A, B, C, de coordonnées respectives :

\begin{center} A(0~;~3),\qquad  B$\left(-\dfrac94~;~0\right)$,\qquad
C(4~;~0).\end{center}

H est le projeté orthogonal de O sur (AC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AB, \: AC.

Montrer que ABC est rectangle en A.
\item Comparer les directions de (AB) et (OH).

En déduire la longueur AH puis OH.
\item Établir l'équation de la droite (AC), puis celle de la droite (OH).

En déduire les coordonnées de H.
\end{enumerate}
\end{document}