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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Égypte}}
\rfoot{\small{juin 1956}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1956~\decofourright\\[7pt]
Égypte}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère l'expression 
\[E = (5x + 1)(2x + 3) + (5x + 1)(x - 2) - (7x - 4) (5x + 1).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer $E$ en un produit de facteurs du premier degré.
\item Résoudre l'équation
\[(5x + 1)(2x + 3) + (5x + 1)(x - 2) - (7x - 4) (5x + 1) = 0.\]
\item Représenter graphiquement les fonctions 
\begin{center}$y = 5x + 1$ \qquad et \qquad $y = - 4x + 5$.\end{center}

Calculer les coordonnées du point I commun aux deux graphiques.

O étant l'origine sur les axes de coordonnées, déterminer la fonction représentée par la droite (OI).
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un segment [AB] tel que AB $= 4$~cm.

Soient C et D les points qui partagent intérieurement et extérieurement ce segment dans le rapport $\dfrac13$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs CA, CB, DA, DB, CD.
\item On trace le cercle ayant pour centre O, pour diamètre [AB], et le cercle ayant pour centre O$'$ et pour diamètre [CD].

Ces cercles se coupent en M et N.

Calculer OO$'$.

En déduire que les triangles OMO$'$ et ONO$'$ sont rectangles.

Calculer MN.
\item Par N on trace une sécante variable qui recoupe les cercles respectivement en P et P$'$.

Montrer que le triangle PMP$'$ reste semblable au triangle OMO$'$.

En déduire que $\widehat{\text{PMP}'} = 1$~droit.
\end{enumerate}
\end{document}