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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\small Égypte}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small }
\lfoot{\small juin 1957}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Égypte juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction
\[y= (2x- 1)^2 - (x - 1)(x - 2) - 3x(x - 1).\]

Effectuer et réduire le second membre.
\item Soit une autre fonction, d'équation
\[y = \dfrac{4x^2 - 1 - 2(2x - 1)^2}{2x - 1}.\]

Mettre le numérateur sous forme d'un produit, puis simplifier le deuxième membre.
\item Représenter sur un même graphique les fonctions

\begin{center}$y= 2x - 1$\qquad  et \qquad $y= - 2x + 3$.\end{center}

Calculer les coordonnées du point M d'intersection des deux droites obtenues.

Sur quelle autre droite particulière se trouve le point M ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Dans un cercle de diamètre BC, on prolonge une corde BA d'une longueur AD telle que 

AD = BA.


\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle BCD est isocèle.
\item On prolonge la corde [BE], perpendiculaire à (BA), d'une longueur EF telle que EF = BE.

Démontrer que le triangle BCF est aussi isocèle et calculer l'angle $\widehat{\text{ACE}}$.
\item Démontrer que les trois points D, C, F sont alignés.
\item Dans le cas où la corde BA fait un angle de $45\degres$ avec le diamètre [BC], préciser la position de la droite (DF).
\end{enumerate}
\end{document}