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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1998}
\lfoot{\small Groupe Est}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Est\footnote{Besançon, Dijon, Lyon, Nancy--Metz, Strasbourg} juin 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer et mettre les résultats de $A$ et de $B$ sous forme de fractions irréductibles: on précisera les calculs intermédiaires.

\[A = \dfrac34 - \dfrac12 \times \dfrac56 ; \qquad B = \left(\dfrac34 - \dfrac12\right) \times \dfrac56\]

\item Écrire $C$ en notation scientifique:


\[C = \dfrac{5 \times 10^{-2} \times 9}{3 \times 20}\]

\item Écrire l'expression $D$ sous la forme $a\sqrt b$ où $a$ et $b$ sont des entiers
relatifs: 

\[D = \sqrt{45} - 7\sqrt 5 + \sqrt{20}\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression: $E = (2x- 3)^2 - (2x - 3)( 4x - 5)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $E$
\item Factoriser l'expression $E$.
\item Calculer la valeur de $E$ pour: $x =\sqrt 5$ (on donnera le résultat sous la forme $a\sqrt 5+ b$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs).
\item Résoudre l'équation: $(2x - 3)(x - 1) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Lors du recensement de 1990, on a pu établir le nombre d'habitants des quatre départements de la région Bourgogne.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire le tableau suivant, puis le compléter.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
&Nièvre			&Yonne	&Côte d'Or&Saône et Loire&\scriptsize Région Bourgogne (Total)\\ \hline
Nombre d'habitants
 en milliers			&239,4	&		&506,9	&572,4	& 1650\\ \hline
Pourcentage 
(arrondi à 0,01 près)	&		&20,08	&		&		&100\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item En 1990, $\dfrac{7}{40}$ des habitants de la Nièvre résidaient à Nevers. Combien y avait-il d'habitant à Nevers en 1990 ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Un cerf-volant a la forme du quadrilatère PAFC ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=3mm}
\begin{pspicture}(-14,-2)(14,16)
\pspolygon(-14,-0.2)(0,14)(14,-0.2)%APC
\psline(-10,4)(0,8)(10,4)%?RK
\psline(-14,-0.2)(0,5)(14,-0.2)%?FC
\psline(0,-0.2)(0,14)
\uput[u](0,14){P} \uput[ul](0,8){R} \uput[ur](10,4){K}
\uput[l](-14,-0.2){A} \uput[ur](0,5){F} \uput[r](14,-0.2){C}
\end{pspicture}

\medskip

PA = PC $= 2$ m \qquad FA = FC $= 1,5$ m\qquad $\widehat{\text{APC}} = 90\degres$

\end{center}

\begin{enumerate}
\item Faire une représentation du quadrilatère PAFC à l'échelle 1/20\up{e}.
\item Démontrer que la droite (PF) est la médiatrice du segment [AC].
\item Montrer que AC $= 2\sqrt 2$.
\item Une des armatures [KR] est parallèle à la droite (FC) et a pour extrémité le point K tel que PK $= 1,4$ m.

Calculer la longueur de cette armature [KR].
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
La figure 1 représente le pommeau de levier de vitesse d'une automobile.

Il a la forme d'une demi-boule surmontant un cône dont on a sectionné l'extrémité comme l'indique la figure 2.

On appelle $\left(C_1\right)$ le cône dont la base est le cercle de rayon [AH] et $\left(C_2\right)$ le cône dont la base est le cercle de rayon [EK].


\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.44\linewidth}
\psset{unit=1.15cm}
\begin{pspicture}(5.6,4.4)
\psarc(4.3,2.9){0.9}{0}{180}
\psellipticarc(4.3,2.9)(0.9,0.35){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](4.3,2.9)(0.9,0.35){0}{180}
\psellipticarc(4.3,1.8)(0.55,0.25){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](4.3,1.8)(0.55,0.25){0}{180}
\psline[linestyle=dashed](3.4,2.9)(5.2,2.9)
\psline[linestyle=dashed](4.3,1.8)(3.75,1.8)
\psline[linestyle=dashed](4.3,2.9)(4.3,0)
\psline[linestyle=dashed](3.4,2.9)(4.3,0)(5.2,2.9)
\psline(3.4,2.9)(3.75,1.8)
\psline(4.85,1.8)(5.2,2.9)
\rput(1,1.1){figure 1}
\uput[l](3.4,2.9){\footnotesize  A} \uput[r](5.2,2.9){\footnotesize B} \uput[r](4.85,1.8){\footnotesize D} \uput[l](3.75,1.8){\footnotesize E}
\uput[dr](4.3,2.9){\footnotesize H} \uput[r](4.3,1.8){\footnotesize K} \uput[r](4.3,0){\footnotesize S}
%%%%%%%
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{
\psarc(1,2.9){0.9}{0}{180}
\psline(0.1,2.9)(0.45,1.8)
\psellipticarc(1,1.8)(0.55,0.25){180}{360}
\psline(1.55,1.8)(1.9,2.9)}
\psellipticarc(1,2.9)(0.9,0.35){180}{360}
\rput(3.4,0.8){figure 2}
\end{pspicture}

\end{minipage}

Ces deux cercles sont situés dans des plans parallèles.

Rappel des formules :

\emph{Volume d'un cône }: $\dfrac13 \pi R^2h$ ; \quad  \emph{Volume d'une boule} : $\dfrac43 \pi R^3$

On pose: SK = 4 cm; SH = 10 cm; AH = 2 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En se plaçant dans le triangle rectangle SAH, calculer la tangente de l'angle 
$\widehat{\text{ASH}}$ : 
en déduire une valeur approchée, à un degré près, de l'angle $\widehat{\text{ASH}}$.
\item En se plaçant dans le triangle rectangle ESK et en utilisant la tangente de l'angle $\widehat{\text{ESK}}$, montrer que : EK $= 0,8$ cm.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les volumes $V_1$ et $V_2$ des cônes $\left(C_1\right)$ et $\left(C_2\right)$.
		
On donnera des valeurs approchées pour les deux calculs de volumes demandés au cm$^3$ près.
		\item Calculer le volume $V_3$ de la demi-boule; en donner une valeur approchée au cm$^3$ près.
		\item Déduire des résultats précédents une valeur approchée du volume du pommeau.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

En 1997, le championnat de voile U.N.S.S. de la région de Bourgogne s'est déroulé au lac des Settons dans la Nièvre.

Le plan est muni d'un repère orthonormal (S, I, J) ; une unité représente $10$~km sur chaque axe. S désigne le lac des Settons, D la ville de Dijon, de coordonnées (7~;~2), N la ville de Nevers de coordonnées $(-7~;~-2)$ et C la ville de Corbigny (dans la Nièvre) de coordonnées 
$(-3~;~1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure, en plaçant les points S, D, N, C ainsi que les points A$(-4~;~7)$ et M$(6~;~-9)$ représentant les villes d'Auxerre et de Mâcon. 

On complétera cette figure au fur et à mesure du problème.

\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{NS}}$ et $\vect{\text{SD}}$ ?
		\item Montrer que le point S est le milieu du segment [ND].
	\end{enumerate}
\item Montrer que: ND $= 2\sqrt{53}$ et en déduire la distance à vol d'oiseau Nevers-Dijon, arrondie à la dizaine de kilomètres la plus proche.
\item Montrer qu'une équation de la droite (AN) est : $y= 3x + 19$.
\item Déterminer une équation de la droite $\Delta$, perpendiculaire à la droite
(AN) et contenant le point S.
\item Vérifier, par le calcul, que la droite $\Delta$ passe par le point C.
\item En justifiant la réponse :
	\begin{enumerate}
		\item les droites (CS) et (AD) sont-elles parallèles ?
		\item La droite (CS) contient-elle le milieu du segment [AN] ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}