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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Groupement Est}}
\rfoot{\small{septembre 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupement Est~\decofourright\\ septembre 2004 }}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

Dans toute cette partie les résultats des calculs demandés doivent être  accompagnés d'explications, le barême en tiendra compte.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

On donne les expressions A $= \dfrac{5}{3} - \dfrac{2}{3} \times 
\dfrac{7}{4}$  et B $= (- 3) \div \dfrac{6}{7}$.
		
Calculer A et B en détaillant les étapes des calculs et écrire les 
résultats sous forme de fractions irréductibles.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

On donne les expressions C $ = \sqrt{2}\left(\sqrt{2}	+ 5\sqrt{3}\right)$ et  D $= \sqrt{24} + \sqrt{9} + \sqrt{54}$. 

\begin{enumerate}
\item Écrire C et D sous la forme $a + b\sqrt{6}$ où $a$ et $b$ sont des nombres  entiers.

\item Utiliser les résultats de la première question pour comparer C et D.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

Soit l'expression : $E = (x + 1)^2 + (x + 1)(2x - 3)$.

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Développer puis réduire l'expression $E$.
\item Factoriser l'expression $E$.
\item Résoudre l'équation $(x +1)(3x -2) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

Au rugby, un essai transformé permet d'augmenter le score de l'équipe de 
7 points, un essai non transformé augmente le score de 5 points et une pénalité augmente le  score de 3 points.

Si, par exemple, au cours d'un match, l'équipe de France marque 4 essais 
transformés, 2 essais non transformés et 3 pénalités, le nombre de points marqués par la France  est : $4\times 7 + 2 \times 5 + 3 \times 3 = 47$.

\begin{enumerate}
\item Résoudre le systême suivant : 
$\left\{\begin{array}{l c r}
x + y & = & 7\\
7x + 5y & =& 39\\
\end{array}\right.$

\item Lors d'une autre rencontre, l'équipe de France a marqué 7 essais, certains transformés et d'autres non et 2 pénalités pour un total de 45 points.

Déterminer le nombre d'essais transformés et le nombre d'essais non 
transformés marqués par l'équipe de France au cours de ce match.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIOUES}}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité est le  centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(-2~;~1)$ ; B(3~;~6) ; C$(4~;~-1)$.
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item Montrer que l'on a : AB $ = 5\sqrt{2}$.
\item Montrer que le triangle ABC est isocèle de sommet B.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point D tel que : 
$\vect{\text{BD}} = \vect{\text{BA}} + \vect{\text{BC}}$.
		\item Quelle est la nature du quadrilatre ABCD ? (justifier la réponse)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

ABC est un triangle rectangle en A tel que : BC = 12 et AC = 6.

(L'unité de longueur est le centimètre).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC.
\item Montrer que l'on a : AB $= 6\sqrt{3}$.
\item Calculer $\sin \widehat{\text{ABC}}$ ; en déduire la mesure exacte, en degrés, de 
l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.
\item On considère le point $M$ du segment [AB] et le point $N$ du segment [BC] tels que : B$M = 4\sqrt{3}$ et B$N = 8$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points $M$ et $N$.
		\item Utiliser la réciproque du théorème de Thalès pour montrer que les droites $(MN)$ et (AC) sont parallèles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

\parbox[l]{0,55\textwidth}{La figure ci-contre représente une 
pyramide $\mathcal{P}$ de sommet S.

Sa base est un carré ABCD tel que : AB = 6 cm ; sa hauteur
[SA] est telle que : SA = 9 cm.

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de cette pyramide $\mathcal{P}$.
\item E est le point de [SA] défini par SE = 6 cm ; EFGH est la
section de la pyramide $\mathcal{P}$ par un plan parallèle à sa base ; la
pyramide $\mathcal{P}_1$, de sommet S et base EFGH est donc une
réduction de la pyramide $\mathcal{P}$ ; calculer le coefficient $k$ de
cette réduction.
\item  Calculer le volume de la pyramide $\mathcal{P}_1$.
\end{enumerate}} \hfill 
\parbox[l]{0,4\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.25,0)(4.5,6.2)
\psline[linewidth=1.5pt](0,0.2)(1.4,6.1)(4.4,1)(3.3,0)(1.4,6.1)%DSBCS
\psline[linewidth=1.5pt](0,0.2)(3.3,0)%DC
\psline(0.5,2.1)(2.6,2)(3.3,2.7)%HGF
\psline[linestyle=dotted](1.4,6.1)(1.1,1.1)(0,0.2)%SAD
\psline[linestyle=dotted](1.1,1.1)(4.4,1)%AB
\psline[linestyle=dotted](0.4,2.1)(1.2,2.8)(3.4,2.7)%HEF
\uput[ul](1.1,1.1){A}  \uput[dr](4.4,1){B}  \uput[d](3.3,0){C}  
\uput[dl](0,0.2){D}  \uput[ur](1.2,2.8){E}  \uput[ur](3.4,2.7){F}  
\uput[dl](2.6,2){G}  \uput[dl](0.4,2.1){H}  \uput[ul](1.4,6.1){S}  
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}}

\bigskip

Monsieur Jean possède un terrain qu'il souhaite partager en deux lots de même  aire. Ce terrain a la forme d'un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 50 m et AC = 80 m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du triangle ABC.
		\item En déduire que l'aire de chaque lot doit être de \np{1000}~m$^2$.
	\end{enumerate}

\parbox[l]{0.3\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3,4.5)
\pspolygon(0,0)(3,4.3)(0,4.3)
\psline(0,0)(1.5,4.3)
\psframe(0,4.3)(0.3,4)
\uput[l](0,4.3){A} \uput[l](0,0){C} 
\uput[r](3,4.3){B} \uput[u](1.5,4.3){M}
\end{pspicture}} \hfill \parbox[l]{0.6\textwidth}{\item Dans un premier temps, il pense faire deux lots ayant la forme de deux triangles AMC et BMC comme indiqué sur la figure 
 ci-contre.
 
On pose A$M = x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire du triangle AMC.
\item En déduire que l'aire du triangle BMC est égale à 

$\np{2000} - 40x$.
\item Déterminer $x$ pour que les aires des deux triangles AMC et BMC soient égales.
\item Quelle est alors la position du point M sur le segment [AB] ?
\end{enumerate}}

\item On considère les deux fonctions affines $f$ et $g$ définies par

\[f(x) = 40x \qquad  \text{et} \qquad  g(x) = 2000 - 40x.\]

Sur une feuille de papier millimétré, construire un repère orthogonal :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] l'origine sera placée en bas à gauche,
\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, on prendra 1 cm pour 5 unités (1 cm pour 5 m),
\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées, on prendra 1 cm pour 100 unités (1 cm pour  100~m$^2$).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\nombre

\begin{enumerate}
\item Dans ce repère, représenter graphiquement les fonctions 
affines $f$ et $g$ pour  $0 \leqslant  x \leqslant  50$.
\item En utilisant ce graphique, retrouver le résultat de la question 
\textbf{2. c.}.
\end{enumerate}

\parbox[l]{0.3\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.25,0)(3,4.5)
\pspolygon(0,0)(3,4.3)(0,4.3)
\psline(0,1.43)(2,4.3)
\psframe(0,4.3)(0.3,4)
\uput[l](0,4.3){A} \uput[l](0,0){C} 
\uput[r](3,4.3){B} \uput[u](2,4.3){$M$} \uput[l](0,1.43){$N$} 
\end{pspicture}} \hfill 
\parbox[l]{0.55\textwidth}{\item Finalement, Monsieur Jean se décide à partager son terrain en un lot triangulaire A$MN$ et un lot ayant la forme d'un trapèze B$MN$C
comme indiqué sur la figure ci-contre avec $(MN)$ parallèle à  (BC).

On pose A$M = x$.
\begin{enumerate}
\item En utilisant la propriété de Thalès, exprimer A$N$ en 
fonction de $x$.
\item En déduire que l'aire du triangle A$MN$ est égale  à $x^2$.
\end{enumerate}}
\item Le graphique suivant représente l'aire en m$^2$ du triangle A$MN$ exprimée en 
fonction de $x$.

En utilisant ce graphique, déterminer $x$, à un mêtre près, pour que les aires 
des deux lots A$MN$ et B$MN$C soient égales.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center} \textbf{Graphique de la question 5 du problème\\
    (à rendre avec la copie)} 
    
\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.008cm}
\begin{pspicture}(-6,0)(50,2000)
\multido{\n=0+1}{51}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,2000)}
\multido{\n=0+100}{21}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(50,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=25,Dy=3000]{->}(0,0)(51,2010)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{50}{0.8 x 2 exp mul}
\rput{90}(-6,1850){aire du triangle A$MN$ en m$^2$}
\uput[d](48,0){$x$} \uput[r](0,2025){$y$}
\multido{\n=0+500}{5}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}