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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small États associés}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small }
\lfoot{\small juin 1957}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet États associés juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Compléter l'expression $x^2- 6x$ pour obtenir le développement du carré d'un binôme de la forme $x - a$.
\item Utiliser le résultat précédent pour mettre l'expression $x^2 - 6x - 16$ sous forme de
produit de facteurs.
\item Simplifier l'expression

\[z = \dfrac{x^2- 6x - 16}{(x - 8)^2 - (8 - x) (3x + 5)}.\]
\item $x$ étant la variable indépendante, étudier les variations de la fonction 
\[y = \dfrac{1}{4x - 1}.\]

Représentation graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Soit un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

On mène une corde [AC] de longueur égale à celle du côté du carré inscrit, puis les tangentes en C et B, qui se coupent en D.

Les droites (AD) et (CB) se coupent en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles CID et AIB.

Calculer en fonction de $R$ la longueur des segments [IA], [IB], [IC], [ID] et l'aire du triangle DIB.
\item Par le point C on mène une droite quelconque (C$x$), qui coupe (AB) en M,. et l'on construit le parallélogramme CMPO.

Trouver la ligne décrite par le point P lorsque le point M parcourt toute la droite (AB).
\item On trace une corde [BF], qu'on prolonge d'une longueur FG = BF.

Quelle ligne décrit le point G lorsque F varie sur le cercle $\mathcal{C}$ ?
\end{enumerate}
\end{document}