\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B. E. P{}. C.},
pdftitle = {États associés octobre 1957},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{États associés}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
États associés octobre 1957}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit l'expression
\[A= (2x + 5)(4x + 2) - \left(4x^2 - 25\right) + (2x + 5).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $A$ sous la forme d'un polynôme ordonné.
\item Écrire $A$ sous la forme d'un produit de facteurs.

En déduire les valeurs de $x$ qui annulent $A$.
\item Construire sur le même graphique les droites d'équations
\begin{center}$y = 2x + 5$,\qquad et \qquad $y = x + 3$\end{center}
et calculer les coordonnées de leur point commun.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un cercle de rayon $R = 3,5$~cm.

On construit un diamètre [BC] de ce cercle, un point A du cercle tel que BA $= 5,6$ cm et la projection H de A sur (BC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs de AC, AH, BH.
\item On construit le cercle de centre C, de rayon CB. La droite (AC) le coupe en D et E.

Que représente (AB) pour le triangle BDE ?; pour les segments [AD] et [AE] ?
\item On trace la hauteur [AF] du triangle ABE.

Montrer que AD $\cdot$ AE = BF $\cdot$ BE.
\item Une droite quelconque passant par A coupe le cercle de centre C en I et K.

Montrer que AB$^2 =$ AK $\cdot$ AI. Calculer la mesure de AI lorsque AK est égal à la longueur du
côté du carré inscrit dans le cercle de centre C.
\end{enumerate}
\end{document}