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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{États associés}}
\rfoot{\small{septembre 1956}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
États associés\: septembre 1956}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en produits de facteurs du premier degré les expressions suivantes :
\[\begin{array}{l}
3x^2 - 6x,\\
x^2 + 4x + 4,\\
2x^2 - 8,\\
9(2x + 1)^2 - (4x - 1)^2.
\end{array}\]

Préciser soigneusement le détail de chaque calcul sur la copie.
\item Simplifier les fractions suivantes:

\[A = \dfrac{3x^2 - 6x}{2x^2 - 8}, \qquad B = \dfrac{9(2x + 1)^2 - (4x - 1)^2}{
4\left(x^2 + 4x + 4\right)}.\]
\item Effectuer $A - B$ et déterminer pour quelle valeur de $x$
\[A - B = 0.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un carré ABCD. On porte sur la diagonale [BD] le point I tel que  BI = BA (I entre B et D). 

La perpendiculaire à (BD) au point I coupe le côté [AD] en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les longueurs AE, EI, ID.

Quelle est la position de la droite (BD) par rapport au cercle (E) de centre E, de rayon EA ?

Le cercle (E) coupe la droite (AD) en un second point F ; prouver que F est entre E et D.
\item On désigne par $a,\: b,\: c$, les mesures respectives de AB, AE, DF faites avec la même unité.

Prouver que $b$ est moyenne proportionnelle entre $a$ et $c$ et montrer que l'on 
\[\dfrac ba  < \dfrac12.\]

Calculer la tangente et la cotangente de l'angle $\widehat{\text{ABE}}$.

Donner une valeur approchée à $\dfrac{1}{\np{1000}}$ près par défaut de chacun de ces nombres.
\end{enumerate}
\end{document}