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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Éthiopie}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Éthiopie juin 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre algébriquement le système suivant : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x - y &=&1,\\
2x + y &=& 5.
\end{array}\right.\]

\item Représenter graphiquement les droites d'équations 
\begin{center}$x - y = 1$ \qquad et\qquad  $2x + y = 5$.\end{center}

Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites ?
\item Soit A le point d'abscisse $\dfrac12$ de la droite d'équation
$x - y = 1$.

Quelle est l'ordonnée du point A ?
\item Former l'équation de la droite passant par le
point A et par le point O, origine des axes.
\item Montrer que cette droite est perpendiculaire à la
droite d'équation $x - y = 1$.
\item Calculer la longueur du segment [OA].
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un carré ABCD, de côté $a$.

On construit le cercle de centre D et de rayon $a$, qui coupe le prolongement de [CD] en E.

On trace (EB), qui coupe (AD) en I et le cercle en M.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer EB, EM, IB et MC en fonction de $a$.
\item Comparer les triangles EDI et EMC et évaluer leur rapport de similitude.
\item Montrer que le quadrilatère IMCD est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre, O, et le rayon en fonction de $a$.

Quelle est la puissance de E par rapport à ce cercle.

Calculer EO.
\item (BD) coupe (IC) en G.

Calculer IG en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{document}