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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small L'année 1999}
\lfoot{\small{juin 1999}}
\rfoot{\small{Centres étrangers I}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Centres étrangers I juin 1999 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 } :

\medskip

Soit $a = \sqrt5\left(1 - \sqrt2\right)$  et $b = 5 + \sqrt2$.

Calculer $a^2$,\,$b^2,\, a^2 + b^2$ et $\sqrt{a^2 + b^2}$.

\bigskip

\textbf{Exercice 2} :

\medskip

Soit l'expression : $G..(1- 2x)^2 - 25$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $G$.
\item Factoriser $G$.
\item Résoudre l'équation $(1 - 7x)(3x + 1) = 0$.
\item Calculer les valeurs de $G$ pour $x = 0$, pour $x = \dfrac17$ et pour $x = -1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3} :

\medskip

Un parc forestier compta \np{14400}~arbres. Le diagramme circulaire ci-dessous Indique la répartition des sept variétés d',arbres plantés dans ce parc.

\begin{minipage}{0.52\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2.2)(2,2.3)
\pscircle(0,0){1.8}\psline(1.8;0)
\psline(1.8;30)\psline(1.8;90)\psline(1.8;135) \psline(1.8;-150)\psline(1.8;-100)\psline(1.8;180)
\uput[r](1.8,0){A} \uput[ur](1.8;30){B} \uput[u](1.8;90){C} \uput[ul](1.8;135){D}
\uput[l](1.8;180){E} \uput[dl](1.8;-150){F} \uput[d](1.8;-100){G} \uput[dr](0,0){O}
\psarc(0,0){0.5}{0}{30}\rput(0.8;15){$30\degres$}
\rput(1.3;15){\textcircled{1}}\rput(1.3;60){\textcircled{2}}
\rput(1.3;112.5){\textcircled{3}}\rput(1.3;157.5){\textcircled{4}}
\rput(1.3;195){\textcircled{5}}\rput(1.3;-125){\textcircled{6}}
\rput(1.3;-50){\textcircled{7}}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
1 : pins

2 : chênes

3 : hêtres

4 : sapins

5 : charmes

6 : bouleaux 

7 : châtaigniers
\end{minipage}

\medskip

Données géométriques relatives à ce diagramme :

\medskip

\begin{minipage}{0.52\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\pscircle(0,0){1.8}\psline(1.8;0)
\psline(1.8;30)\psline(1.8;90)\psline(1.8;135) \psline(1.8;-150)\psline(1.8;-100)\psline(1.8;180)
\uput[r](1.8,0){A} \uput[ur](1.8;30){B} \uput[u](1.8;90){C} \uput[ul](1.8;135){D}
\uput[l](1.8;180){E} \uput[dl](1.8;-150){F} \uput[d](1.8;-100){G} \uput[dr](0,0){O}
\psarc(0,0){0.5}{0}{30}\rput(0.8;15){$30\degres$}
%\rput(1;15){\textcircled{1}}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.46\linewidth}
\begin{itemize}
\item [AE] et [BF] sont deux diamètres du
disque;
\item (CO) et (AE) sont perpendiculaires;
\item l'angle AOB mesure 30 degrés;
\item (OD) est la bissectrice de l'angle

$\widehat{\text{COE}}$ ;
\item la mesure de l'angle $\widehat{\text{FOG}}$ égale la
moitié de la mesure de l'angle $\widehat{\text{GOA}}$.
\end{itemize}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les mesures des angles: $\widehat{\text{BOC}}, \, \widehat{\text{COD}},\, \widehat{\text{DOE}},\, \widehat{\text{EOF}}, \, \widehat{\text{FOG}}$ et $\widehat{\text{GOA}}$.
\item En déduire le nombre d'arbres de chaque variété plantée dans le parc forestier. ~
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 }:

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormal (O, I, J) ; l'unité graphique est 1
centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(-2~;~1)$ ; B(-1~;~-2); C(4~;~3) et O(2~;~4). 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer AB2, Aç;'2 el ed!. ~
		\item Quelle est la nature du triangle ABC? 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation de la droite (BD). ~
		\item Calculer le coefficient directeur de la droite (DC).
	\end{enumerate}
\item  Soit M le milieu du segment [ACI.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point M.
		\item Démontrer que le point M appartient à la droite (BD).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Exercice 2} :

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
L'unité de longueur est le centimètre. 

Le schéma ci-contre représente une pyramide régulière de sommet S qui a pour base le carré ABCD.

AC $= 10$ et SA $=  10$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire en vraie grandeur le carré
ABCD et le triangle SAB.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que AB $= 5\sqrt2$.
		\item On se place dans le triangle SAB et on désigne par I le milieu du segment [AB].

Calculer le cosinus de l'angle $\widehat{\text{SAB}}$.

En déduire la mesure, arrondie eu degré, de l'angle $\widehat{\text{SAB}}$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la hauteur SO de la pyramide.
\item Calculer le volume de la pyramide.

On donnera sa valeur exacte, puis une valeur approchée au cm$^3$ près.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.44\linewidth}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.2,0)(9.5,10)
%\psgrid
\psline(4.7,9.1)(0,0)(7.1,0)(4.7,9.1)(9.5,3.2)(7.1,0)%SABSCB
\psline[linestyle=dashed](0,0)(2.4,3.2)(4.7,9.1)(9.5,3.2)(2.4,3.2)%ADSCD
\psline[linestyle=dashed](0,0)(9.5,3.2)(4.7,9.1)(4.7,1.6)%ACSO
\psline[linestyle=dashed](7.1,0)(2.4,3.2)%BD
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](7.1,0){B} \uput[r](9.5,3.2){C}
\uput[ur](2.4,3.2){D} \uput[u](4.7,9.1){S} \uput[d](4.7,1.6){O}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre. Le schéma ci-contre représente une pyramide régulière de sommet S qui a pour base le carré ABCD.

AC $= 10$ et SA $= 10$.

\medskip

Soit un cercle ~ de diamètre [AB] et de centre O.

Soit M un point de ce cercle (distinct de A et B), et N l'image de M par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.(On a donc MN = AB.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Réaliser la figure qui sera complétée dans la suite.
\item Quelle est la nature du quadrilatère AMNB ?
\item Soit P le symétrique de N par rapport au point B.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadrilatère AMBP ?
		\item En déduire que P est le symétrique de M par rapport au point O et que P appartient au cercle ce.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle MNP ?
		\item Comparer les aires du triangle MNP et du quadrilatère AMNB.
	\end{enumerate}
\item  La droite (NO) coupe la droite (MB) en G.

Démontrer que la droite (PG) coupe le segment [MN] en son milieu.
\end{enumerate}
\end{document}