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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Burundi}
\lfoot{\small juin 1986}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Étranger groupe II juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soient les réels $A = \sqrt 5  + 3$ et $B =  \sqrt 5  - 3$ 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A^2,\: B^2,\: A \times B$.
\item Démontrer que $\dfrac AB + \dfrac BA$ est un entier relatif.
\item Écrire au moyen d'un seul radical : $\sqrt{14 - 6\sqrt 5}$.
\item Sachant que $2,235 < \sqrt 5  < 2,236$, donner la valeur décimale approchée par défaut, à $10^{-2}$  près, du réel $A - 2B$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij, placer les points:

\begin{center}A$(-3~;~-4)$,\quad B (3~;~2), \quad C$(7~;~-2)$, \quad D $(1~;~-8)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs AB, AC, BC, AD.
\item Calculer $d$(A,B), $d$(A, C), $d$(B, C) et en déduire que ABC est un triangle
rectangle.
\item Démontrer que ABCD est un rectangle.

Calculer le rayon du cercle circonscrit à ce rectangle.

Déterminer les coordonnées du centre de ce cercle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

$f$ et $g$ sont deux applications de $\R$ dans $\R$ définies par : 

\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& (3x+ 4)^2 - (x - 1)^2\\
g(x) &=&4x^2 - 25 + (2x - 1)(4x + 10).
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous[orme de produits de facteurs du premier degré. 
\item Soit $h$ la fonction donnée par :

\[h(x) = \dfrac{f(x)}{(2x + 5)(6x - 7)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition de cette fonction.
		\item Simplifier l'écriture de $h(x)$.
		\item Résoudre dans $\R$ chacune des équations suivantes :
		
\[\begin{array}{l c l}
h(x)&=&0\\
h(x)&=&1\\
h(x)&=&\dfrac{7}{22}
\end{array}\]
	\end{enumerate}
\item Construire dans le plan rapporté à un repère \Oij{} les droites : $D_1$, d'équation $4x-y + 3 = 0$ et $D_2$, d'équation $6x - y - 7 = 0$.
\item Déterminer graphiquement puis par le calcul, les coordonnées du point d'intersection des droites $D_1$ et $D_2$.
\end{enumerate}

\end{document}