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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1973}
\rfoot{\small Toulouse}
\lfoot{\small juin 1973}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Étranger groupe I\footnote{Bassin méditerranéen et Afrique noire} juin 1973 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $P$ et $Q$ définies par

\[\begin{array}{l c l}
x&\longmapsto&P(x) = (x - 1)\left(x^2 - 2x\right)\\
x&\longmapsto&Q(x) = \left(x^2 - x\right)(3x + 2).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer et ordonner $P(x)$ et $Q(x)$ ; indiquer le
degré de chaque polynôme.
\item Mettre P sous la forme du produit de trois fonc- tions polynômes de degré 1 (ou fonctions affines). Opérer de même pour Q.
\item Quel est l'ensemble de définition de la fonction rationnelle $F = \dfrac PQ$, fonction rationnelle définie par

\[x \longmapsto F(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}.\]

Sur cet ensemble de définition, montrer que $F$ est
l'application définie par 

\[x \longmapsto F(x) = \dfrac{x - 2}{3x + 2}.\]

\item Calculer les nombres réels

\begin{center}$a = F\left(\dfrac13 \right)$\qquad et\qquad $b = F\left(- \sqrt 2\right).$\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

On donne les trois points A, B et C par leurs coordonnées

\begin{center}A$(4~;~1)$,\qquad  B$(2~;~- 3)$\quad et \quad C$(- 2~;~1)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point D, tel que
les bipoints (B, C) et (A, D) soient équipollents.
\item Soit M le point de coordonnées $(1~;~- 2)$.

Démontrer la relation

\begin{center}$\vect{\text{MC}} + 3\vect{\text{MB}} = \vect{0}$ \quad ($\vect{0}$ est le vecteur nul].\end{center}

En déduire que M appartient à la droite (BC).
\item Démontrer que les droites (AM) et (BC) sont: orthogonales.
\item Dans le triangle rectangle (AMB), calculer
$\cos \widehat{\text{ABM}}$.

Connaissant l'encadrement $3,16 < \sqrt{10} < 3,17$,
donner un encadrement de $\cos \widehat{\text{ABM}}$, puis les valeurs approchées entières, en degrés, de l'écart de l'angle $\widehat{\text{ABM}}$.
\end{enumerate}
\end{document}