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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1997}
\lfoot{\small Étranger}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Étranger juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire sous forme d'une fraction irréductible : $A = \dfrac72 + \dfrac82 \times \dfrac
37$.
\item Écrire sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers,
$b$ étant le plus petit possible : $B = \sqrt{45} +2 \sqrt{80} - \sqrt 5$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression suivante : $C= (x - 2)(3x - 5) + 9 x^2 - 25$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $C$.
\item Factoriser $9x^2 - 25$, en déduire une factorisation de $C$.
\item Résoudre l'équation : $(3x - 5)(4x + 3) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l c l}
8x + 5y &=& 77,5\\
5x + 8y &=& 65,5
\end{array}\right.$
\item Un fleuriste propose des roses, des tulipes et des glaïeuls. 

Alain achète 8 roses et 5 tulipes pour 77,50 F{}.

Béatrice achète 5 roses et 8 tulipes pour 65,50 F{}.

	\begin{enumerate}
		\item Quel est le prix d'une rose ? Quel est le prix d'une tulipe ?
		\item Sachant qu'un glaïeul coûte 8 F et une rose 7,50 F, Camille pourra-t-elle acheter 13 roses et 19 glaïeuls avec 250 F ?
		\item Damien, qui a 200 F, décide d'acheter 15 roses, combien pourra-t-il acheter de glaïeuls avec l'argent qui lui restera ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

(O, I, J) est un repère orthonormal du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(4~;~2), B$(6~;~-4)$ et C$(0~;~-2)$.
\item Déterminer les coordonnées du vecteur AB; en déduire les coordonnées du point D pour que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.
\item Calculer les longueurs AB et BC. En déduire la nature du parallélogramme ABCD.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère une pyramide régulière de sommet S et de base carrée ABCD dont le côté [AB] mesure 5 cm.

On rappelle que si le point O est l'intersection des diagonales du carré, alors la droite (SO) est perpendiculaire à toutes les droites du plan (ABCD).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.5,6.4)
\psline(3.4,5.7)(0.2,0.2)(4.4,0.2)(3.4,5.7)(6.6,2.5)(4.4,0.2)%SADSCD
\pspolygon[linestyle=dashed](0.2,0.2)(2.4,2.5)(6.6,2.5)%ABCA
\psline[linestyle=dashed](4.4,0.2)(2.4,2.5)(3.4,5.7)%DBS
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[ul](2.4,2.5){B} \uput[r](6.6,2.5){C}
\uput[dr](4.4,0.2){D} \uput[u](3.4,5.7){S} \uput[l](3.4,1.4){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la hauteur de cette pyramide, sachant que son volume est 25 cm$^3$.
\item Calculer une valeur approchée à 0,1 près de la longueur BD. 
\item Construire le triangle OSD en vraie grandeur.
\item Calculer la longueur à 0,01 près de l'arête [SD].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

L'unité de mesure est le centimètre.

On considère un triangle ABC tel que AB $= 4$, BC $= 7$, AC $= 5$.

D est un point du segment [AB], autre que A et B.

La parallèle à la droite (BC) passant par D coupe la droite (AC) en E.

La parallèle à la droite (AC) passant par D coupe la droite (BC) en F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Quelle est la nature du quadrilatère DECF ? Justifier la réponse.
\item On pose AD $= x$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de x les longueurs DE et AE.
		\item Prouver que EC $= - \dfrac54 x + 5$.
	\end{enumerate}	
\item Construire sur un même graphique rapporté à un repère orthonormal (unité graphique 2 cm) :

- la droite (D1) d'équation $y = \dfrac74 x$ ; 
- la droite (D2) d'équation $y = - \dfrac54 x + 5$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle condition doivent vérifier DE et EC pour que le quadrilatère DECF soit un losange ?
		\item Lire sur le graphique de la question précédente une valeur approchée du nombre $x$ tel que le quadrilatère DECF soit un losange.
		\item Calculer la valeur exacte de $x$ pour que le quadrilatère DECF soit un losange.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}