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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
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\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%pdfauthor = {APMEP},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Europe de l'Est}
\lfoot{\small juin 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Europe de l'Est juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip


On considère les fonctions polynôme

\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&(2x +1)^2- (3x - 5)^2,\\
g(x)&=&4x^2 - 25 + (3x + 1)(2x - 5)- (20x - 50).\\
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $g(x)$.
\item Montrer que l'on peut écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la
forme
\begin{center}$f(x) = (5x - 4)(6 - x)$\quad et \quad $g(x) = (2x - 5)(5x - 4)$.\end{center}

\item Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = 0$ ; 
		\item $f(x) = g(x)$.
	\end{enumerate}
\item Soit la fonction rationnelle $h$ définie par 
\[h(x) = \dfrac{2x - 5)\times f(x)}{g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Préciser l'ensemble de définition de $h$.
		\item Simplifier $h(x)$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $h (x) > 0$.
		\item Calculer $h\left(3\sqrt 5\right)$ à $10^{-1}$ près par défaut sachant que
\[2,236 < \sqrt 5 < 2,237.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\bigskip

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé \Oij{} on considère les points A, B, I et J définis par
\[\begin{array}{l c l}
\vect{\text{OA}}&=& -3\vect{\imath} + 4\vect{\jmath},\\
\vect{\text{OA}}&=& 4\vect{\imath}  +3\vect{\jmath},\\
\vect{\text{OI}}&=& \vect{\imath},\\
\vect{\text{OJ}}&=& \vect{\jmath}.\\
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points sur la figure, qui sera complétée au fur et à mesure.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit K le milieu du segment [A, B], déterminer ses coordonnées.
		\item Trouver les coordonnées du point D, symétrique de O par rapport à K.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le quadrilatère (O, A, D, B) est un carré.
\item Démontrer que les points I, J et A sont alignés.
\item Quelle est la nature du triangle (I, A, B) ?
\item Démontrer que les points O, A, D, B et I sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
\end{enumerate}
\end{document}