\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \setlength\headheight{14pt} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %\usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet}, pdftitle = {Europe du Nord juin 1999}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small L'année 1999} \lfoot{\small{juin 1999}} \rfoot{\small{Europe du Nord}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Europe du Nord juin 1999 \decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{PARTIE NUMÉRIQUE} \medskip \textbf{Exercice 1 } : \medskip Soit $P$ le poids d'une personne en kg et $T$ sa taille en mètres. \smallskip Le nombre $I= \dfrac{P}{T^2}$ est appelé indice de corpulence. \smallskip Si l'indice de corpulence d'une personne est compris entre 25 et 30, cette personne est considérée comme étant en surcharge de poids. Si le nombre $I$ est supérieur à 30, elle est considérée comme obèse. \medskip \begin{enumerate} \item Tom pèse 75 kg et mesure $1,75$~m. Calculer son indice de corpulence. \item Jim est en surcharge de poids et mesure $1,60$~m. Donner un encadrement de son poids. \item Aux États-Unis, l'obésité est un problème de santé publique important. Une étude révèle que sur un échantillon de \np{2625} personnes, $630$ sont obèses. Quel est le pourcentage de personnes obèses dans cet échantillon ? \item Sam se rend à un examen médical. La fiche de résultats indique : 66 kg soit 110\,\% du poids idéal. De combien de kilos doit-il maigrir s'il veut retrouver son poids idéal ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} : \medskip \begin{enumerate} \item Développer $A(x) = (2x + 1) (2x - 1)$. \item Calculer $A(x)$ pour $x = \sqrt 5$. \item Expliquer comment on peut utiliser la première question pour calculer $\np{20001} \times \np{19999}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} : \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l} \phantom{4, }7a + b &=& 2,7\\ 4,5a + b &=& 2 \end{array}\right.$ \item Le tarif d'une communication téléphonique locale est calculé de la manière suivante : un coût fixe $b$ pour les trois premières minutes, auquel rajoute un coût $a$ pour chaque minute suivante ($a$ et $b$ sont exprimés en francs). Tom a extrait les renseignements suivants de sa facture de téléphone : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Durée &Coût \\ \hline Communications locales &10 min &2,70 F\\ \hline &7 min 30 s &2,00 F\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item En utilisant ces renseignements, expliquer pourquoi $a$ et $b$ vérifient le système de la question 1. \item Quel serait le coût d'une communication locale de $17$min ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE} \bigskip \textbf{Exercice 1 }: \medskip Dans un repère orthonormal (O, I, J), on a tracé la droite $d$. On considère les points A(5~;~0) et B(0~;~3). \medskip \begin{enumerate} \item Parmi les équations suivantes, quelle est celle de la droite $d$ ? \[y = x, \quad y = - x + 3, \quad y = - x,\quad y = x -1,\quad y = - 2x\] \item Soit A$'$ et B$'$ les symétriques de A et B par rapport à la droite $d$. Placer les points A$'$ et B$'$ et lire leurs coordonnées. \item Tracer la droite image de la droite $d$ par la translation de vecteur $\vect{\text{MN}}$. \item \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de L, milieu de [AB]. \item Calculer l'équation de la droite (OL) et l'équation de la droite (A$'$B$'$). \item Montrer que les droites (OL) et (A$'$B$'$). sont perpendiculaires. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=5mm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture}(-7,-6)(7,6) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-7,-6)(7,6) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](1,0)(0,1)(5,0)(0,3)(2.5,1.5)(6,5)(2,4)%IJABLMN \psline(5,0)(0,3)%AB \psline{->}(6,5)(2,4)%MN \psline(-6,6)(6,-6)%$d$ \psline{->}(0,0)(-4,-1) %\psline(-7,2)(1,-6) \uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J} \uput[d](5,0){A} \uput[l](0,3){B} \uput[ur](2.5,1.5){L} \uput[u](6,5){M} \uput[u](2,4){N} \uput[dl](0,0){O} \uput[dl](-4,-1){O$'$}\uput[ur](5,-5){$d$} %\uput[ur](1,-6){$d'$} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 2}: \medskip \begin{enumerate} \item Construire un triangle ABC rectangle en A tel que $\widehat{\text{ABC}} = 30\degres$ et AB $= 6$ cm. \item Calculer une valeur approchée de AC (arrondir au mm près). \item Le cercle de diamètre [AB] coupe le segment [BC] en H. Montrer que H est le pied de la hauteur issue de A. \item Expliquer pourquoi H est aussi sur le cercle de diamètre [AC]. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PROBLÈME} \medskip Dans ce problème, on considère deux récipients : l'un de forme conique, de rayon de base 8 cm et de hauteur 24 cm, l'autre de forme cylindrique, de rayon $8$~cm également. Le but du problème est de comparer les hauteurs d'eau dans les deux récipients lorsqu’ils contiennent le même volume d'eau. Dans tout le problème, la hauteur d'eau dans le récipient conique est notée $x$ et la hauteur d'eau dans le récipient cylindrique est notée $y$. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture}(10,4.5) %\psgrid \psellipse(1.75,2.8)(1.75,0.56) \psline(0,0.5)(0,2.8)\psline(3.5,0.5)(3.5,2.8) \psellipticarc[linestyle=dashed](1.75,1.15)(1.75,0.55){0}{180} \psellipticarc(1.75,1.15)(1.75,0.55){180}{360} \psellipticarc[linestyle=dashed](1.75,0.55)(1.75,0.55){0}{180} \psellipticarc(1.75,0.55)(1.75,0.55){180}{360} \psline[linestyle=dashed](1.75,2.8)(3.5,2.8)\uput[u](2.6,2.8){8 cm} \psline[linewidth=0.4pt]{<->}(3.7,0.5)(3.7,1.2)\uput[r](3.7,0.85){$y$} \psellipse(7,3.6)(1.75,0.56) \psline(5.25,3.6)(7,0)(8.75,3.6)\psline[linewidth=0.4pt](5,0)(10,0) \psline[linestyle=dashed](7,0)(7,3.6) \psline[linestyle=dashed](5.25,3.6)(8.75,3.6) \uput[u](7.9,3.6){8 cm} \psellipticarc[linestyle=dashed](7,2)(0.95,0.3){0}{180} \psellipticarc(7,2)(0.97,0.3){180}{360} \psline[linewidth=0.4pt]{<->}(5.8,0)(5.8,2)\uput[l](5.8,1){$x$} \psline[linewidth=0.4pt]{<->}(9,0)(9,4.17)\uput[r](9,2.09){$24$ cm} \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{Partie I} \begin{minipage}{0.6\linewidth}Dans cette partie, on considère le récipient conique. Calculer la longueur OB d'une génératrice du cône. Écrire OB sous la forme $a \sqrt b$ , où $b$ est un entier naturel le plus petit possible. \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.37\linewidth} \psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture}(5,5.5) %\psgrid \psellipse(2.5,5.2)(2.5,0.5) \psline(0,5.2)(2.5,0)(5,5.2) \psline[linestyle=dashed](0,5.2)(5,5.2) \psline[linestyle=dashed](2.5,5.2)(2.5,0) \psframe(2.5,5.2)(2.25,4.95) \uput[d](2.5,0){O} \uput[l](0,5.2){A} \uput[r](5,5.2){B} \uput[u](2.5,5.2){I} \end{pspicture} \end{minipage} \bigskip \textbf{Partie II} \medskip \begin{minipage}{0.6\linewidth}Dans le récipient conique, on verse de l'eau , jusqu'à une hauteur $x = 6$~cm. Le liquide occupe un volume conique. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le rayon I$'$B$'$ du cercle de base , de ce volume conique. \item En déduire le volume en cm$^3$ du liquide (résultats sous forme exacte puis arrondie à 0,1 cm$^3$ près). \item On verse le même volume d'eau dans le récipient cylindrique. Quelle est la hauteur $y$ de liquide dans le récipient cylindrique ? Donner le résultat en cm, puis en mm. \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.37\linewidth} \psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture}(5,5.5) %\psgrid \psellipse(2.5,5.2)(2.5,0.5) \psellipse(2.5,3)(1.42,0.4) \psline(0,5.2)(2.5,0)(5,5.2) \psline[linestyle=dashed](0,5.2)(5,5.2) \psline[linestyle=dashed](2.5,5.2)(2.5,0) \psframe(2.5,5.2)(2.25,4.95) \uput[d](2.5,0){O} \uput[l](0,5.2){A} \uput[r](5,5.2){B} \uput[ur](2.5,5.2){I} \uput[ur](2.5,3){I$'$} \uput[l](1.09,3){A$'$} \uput[r](3.9,3){B$'$} \psline[linestyle=dashed](1.09,3)(3.9,3) \psframe(2.5,3)(2.25,2.75) \end{pspicture} \end{minipage} \bigskip \textbf{Partie III} \medskip En météorologie, la quantité de pluie tombée se mesure en hauteur d'eau. En général, dans les régions tempérées, une pluie normale donne quelques millimètres d'eau. Un récipient cylindrique recueillant la pluie donnerait directement cette hauteur, mais ce ne serait pas facile à lire. On utilise donc parfois un récipient conique pour recueillir la pluie. Un tel récipient est appelé pluviomètre. Dans cette partie, on prend comme pluviomètre le récipient de forme conique des parties précédentes (rayon de base : $8$ cm, hauteur : $24$ cm). Soit $x$ la hauteur d'eau dans le pluviomètre (en cm) et $y$ la hauteur de pluie correspondante (en cm). On admet que $y = \left(\dfrac{x}{12}\right)^3$. \medskip \begin{enumerate} \item Retrouver le résultat de la question 3. de la deuxième partie. \item Recopier et compléter le tableau : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Hauteur d'eau $x$ dans le pluviomètre (en cm) &12 &18 & 24\\ \hline Hauteur de pluie $y$ (en cm) & & &\\ \hline Hauteur de pluie en mm & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} La hauteur de pluie est-elle proportionnelle à la hauteur d'eau dans le pluviomètre ? \item Les deux graphiques suivants représentent, à des échelles différentes, la hauteur de pluie $y$ en fonction de la hauteur d'eau $x$ dans le pluviomètre : \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=10cm,arrowsize=3pt 2,comma=true} \begin{pspicture*}(-1,-0.1)(10.2,0.8) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.1pt](10,0.8) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(10,0.8) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1](0,0)(0,0)(10,0.8) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{10}{x 12 div 3 exp} \uput[4](4.2,0.03){\small hauteur d'eau dans le pluviomètre $x$ cm} \uput[r](0,0.775){\small hauteur de pluie $y$ cm} \end{pspicture*} \end{center} \bigskip \begin{center} \psset{yunit=1cm,xunit=0.25cm,arrowsize=3pt 2,comma=true} \begin{pspicture}(32,6) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.1pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=1,Dx=2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(32,6) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{21}{x 12 div 3 exp} \uput[u](30,0){\small $x$ cm} \uput[r](0,6.15){\small $y$ cm} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Lundi, une averse a donné 3 mm de pluie. Mardi, une averse a donné $30$~mm de pluie. Pour chacune de ces averses, lire graphiquement la hauteur d'eau recueillie par le pluviomètre. \item Jeudi, une averse a donné 7,5 cm d'eau dans le pluviomètre. Vendredi, une averse a donné 16 cm d'eau dans le pluviomètre. Lire graphiquement la hauteur de pluie donnée par chacune de ces averses. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}