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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small L'année 1994}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Europe centrale}
\lfoot{\small juin 1994}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Europe centrale\footnote{Allemagne, Autriche, Danemark, Norvège, Russie, Suède} juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer:

\[A = \dfrac{\dfrac12 + \dfrac13}{1 - \dfrac12 \times \dfrac13}\]

\item Déterminer l'écriture scientifique de : 

\[B = \dfrac{1,2 \times  10^{-3}}{\left(2 \times 10^2\right)^3}\]

\item Sachant que $a = 2 \sqrt 7 - 6$ et $b =  2 \sqrt 7 + 6$, calculer $a^2$ et $ab$.

(On demande les valeurs exactes.) 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Soit l'expression $C = \left(\dfrac23 x - \dfrac12\right)^2 - \dfrac94.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $C$.
\item Factoriser $C$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Deux paquets de gâteaux et cinq tablettes de chocolat coûtent $71,40$ F.

Cinq paquets de gâteaux et trois tablettes de chocolat coûtent $71,15$ F.

Calculer le prix d'un paquet de gâteaux et celui d'une tablette de chocolat.

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\bigskip

\emph{Les trois exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Construire avec précision sur la figure (page suivante) les points suivants :

(Laisser apparents les traits de construction.)

\medskip

\begin{itemize}
\item Le symétrique E du point A par rapport à la droite ($\Delta$).
\item Le symétrique F du point A par rapport au point O.
\item Le translaté G du point A dans la translation de vecteur $\vect{\text{OB}}$.
\item L'image H du point C par la rotation de centre O qui transforme A en B.
\item Le point I tel que $\vect{\text{OI}} = \vect{\text{OB}} + \vect{\text{OC}}$
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.3,6.7)
\psline(0,0)(8,6)\uput[ul](7.8,5.8){$(\Delta)$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0.3,2)(2.5,5.1)(3.6,2.7)(4.2,1.2)%BAOC
\uput[u](2.5,5.1){A} \uput[u](0.3,2){B} \uput[d](4.2,1.2){C} \uput[ul](3.6,2.7){O} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

ABC est un triangle tel que :

AB $= 8,4$ cm ; AC $= 10,5$ cm et BC $= 6,3$ cm.

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(10,6)
\pspolygon(0.2,0.2)(10.7,0.2)(6.94,5.23)
\uput[l](0.2,0.2){A} \uput[u](6.94,5.23){B} \uput[r](10.7,0.2){C} %\uput[ul](3.6,2.7){O}
\psline(4.07,3.08)(6.2,0.2)(9.07,2.35)%USE 
\uput[ul](4.07,3.08){U}\uput[d](6.2,0.2){S}\uput[ur](9.07,2.35){E}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
\item U est le point du segment [AB] tel que BU $= 3,6$ cm.

La parallèle à la droite (BC) passant par U coupe (AC) en S. 

La parallèle à la droite (AB) passant par S coupe (BC) en E. 

Calculer US.
\item Démontrer que le quadrilatère BUSE est un carré.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

On considère le cône ci-dessous, de hauteur SO $= 6$ cm, et de rayon
OA $= 2,5$ cm.

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Calculer SA.
\item Calculer le volume de ce cône. Donner la réponse au cm$^3$ le plus proche.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{SAO}}$ au degré le plus proche. 
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.6,0.5)(1.6,4.3)
\psellipticarc(0,0)(1.5,0.45){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.5,0.45){0}{180}
\psline(-1.52,0)(0,4)(1.52,0)
\psline[linestyle=dashed](0,4)(0,0)(1.5,0)%SOA
\uput[u](0,4){S}\uput[dl](0,0){O}\uput[r](1.5,0){A}
\psframe(0,0)(0.2,0.2)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\bigskip

Dans un repère orthonormé (O, I, J) placer les points :

A(2~;~4), B$(- 3~;~- 1)$ et C$(3~;~- 3)$ avec pour unité le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point M, milieu du segment [AC].
		\item Calculer les coordonnées du point E pour que ABeE soit un parallélogramme.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer AB, AC et BC.
		
En déduire la nature du triangle ABC.
		\item Démontrer que la droite (AC) a pour équation $y = - 7x + 18$.
		\item Déterminer une équation de la droite $\left(D_1\right)$ parallèle à la droite (AC) en passant par Je point B.
		\item Déterminer une équation de la droite $\left(D_2\right)$ perpendiculaire à la droite (AC) et passant par le point B.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}