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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Europe du Nord}
\lfoot{\small juin 1980}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Europe du Nord juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\bigskip

Soit $P$ et $Q$ les applications polynômes définies dans $\R$ par

\[\begin{array}{l c l}
P(x)&=& 16x^2 + 8x + 1- (4x +1)(3x + 5),\\
Q(x)&=&(3x - 1)^2 -(x + 2)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner le polynôme $P(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Factoriser les polynômes $P(x)$ et $Q(x)$ sous la forme d'un produit de binômes du premier degré.
\item Calculer $P(0)$ et $Q\left(\dfrac13\right)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $P(x) = -4$.
\item Soit $F$ la fonction rationnelle définie par p(x)
\[F(x) =\dfrac{P(x)}{Q(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $F$.
		\item Montrer que, pour tout élément $x$ de $\mathcal{D}$, \:$F(x)$ peut s'écrire
\[F(x) = \dfrac{x -4}{2x - 3}.\]
		\item Calculer $F\left(\sqrt 2\right)$. (On rendra rationnel le dénominateur du quotient obtenu.)
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $E$ des réels $x$ pour lesquels
\[F(x) \geqslant 0.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\bigskip

Le plan $(P)$ est muni d'un repère orthonormé \Oij 

Pour la figure, on choisira comme unité de longueur 1~cm ; les représentants d'origine O des vecteurs $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$ sont notés (O, I) et (O, J).

Soit A le point de $(P)$ de coordonnées $(-3~;~0)$ et B le point $(P)$ de coordonnées (9~;~0).

Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon 6.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\mathcal{C}$ et la droite (OJ) ont deux points
communs.
		\item Soit C le point d'intersection de $\mathcal{C}$ et (OJ) dont l'ordonnée est positive.
		
Montrer que les coordonnées de C sont $\left(0~;~3\sqrt 3\right)$.
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$ dans la base $\left(\vect{\imath},\:\vect{\jmath}\right)$.
		
Montrer que la droite (BC) est tangente au cercle $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Soit M le milieu du segment [A, B] et N sa projection orthogonale sur (BC).
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle (A, M, C) est équilatéral.
		\item Démontrer que les points O, M, N et C appartiennent à un même cercle $\mathcal{C}'$ dont on déterminera le centre Q et le rayon $r$.
		\item Soit R le deuxième point d'intersection de (AC) et de $\mathcal{C}'$.
		
Démontrer que R est le milieu de [A, C].
	\end{enumerate}
\item Quelle est la nature des quadruplets (M, N, C, R) et (O, Q, C, R) ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{document}