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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small juin 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$, de $\R$ dans $\R$, définies par
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& (x + 8)^2 - (2x +1)^2\\
g(x) &=&(x + 3)(2x - 1)+ (2x +6)(1 - x) - (x + 3)(x - 4).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner les polynômes $f(x)$ et $g(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme de produits de
facteurs du premier degré. 

En déduire que $f(x) - g(x)$ peut s'écrire $-2(x + 3)(x - 8)$.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $f(x) = g(x)$.
\item Soit $h$ la fonction rationnelle définie par

\[h(x) = \dfrac{x^2 + 6x + 9}{f(x) - g(x)}\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est le domaine de définition de $h$ ?
		
Simplifier l'écriture de $h(x)$.
		\item Calculer $h\left(\sqrt 2 \right)$ ; on écrira le résultat de telle
sorte que le dénominateur soit un entier.
		\item Sachant que $1,4 < \sqrt 2 < 1,5$, donner la valeur
approchée à $10^{-1}$ près par défaut de $h\left(\sqrt 2 \right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien $(P)$ rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère les points I, A et B définis par leurs coordonnées :
\begin{center}I$(-1~;~2)$,\qquad  A(1~;~4),\qquad  B$(2~;~- 1)$\end{center}



\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{IA}},\: \vect{\text{IB}}$ et $\vect{\text{AB}}$.
		\item Démontrer que le triangle (A, I, B) est rectangle en I.
	\end{enumerate}	
\item Soit C le point de coordonnées $(-3~;~0)$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de I$'$ milieu de (A, C).
		
Quelle remarque peut-on faire ?
		\item Calculer les coordonnées du point D symétrique de B par rapport à I.
		\item Démontrer que le quadrilatère (A, B, C, D) est un losange.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point E tel que $\vect{\text{BE}} = \vect{\text{DC}}$.
		\item Montrer, si possible sans calcul, que B est le milieu de (A, E) et que les points A, C et E appartiennent à un même cercle de centre B. 
		
Calculer ensuite le rayon $r$ de ce cercle,
		\item Le triangle (A, C, E) est-il rectangle en C ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}