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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Grenoble}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Grenoble juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Vérifier l'égalité 
\[(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy.\]
et l'appliquer aux deux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver deux nombres, connaissant leur somme 10 et leur moyenne proportionnelle $4$. (On calculera d'abord leur différence.)
\item Calculer les longueurs des côtés d'un triangle rectangle, sachant que l'hypoténuse mesure $a$ cm et la hauteur $h$ cm.

Donner aussi une solution géométrique de ce problème.

Discussion.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient un cercle de centre O, de rayon $R$, et ABCDM un polygone convexe inscrit dans ce cercle, tels que [AB] est le côté de l'hexagone régulier inscrit, [BC] le côté du triangle équilatéral inscrit et [CD] le côté du carré inscrit dans ce cercle, le point M étant variable.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser sur quel arc de cercle se déplace le point M.

Que peut-on dire de la position des points A et C ?

Quels sont les côtés et les angles du polygone ABCDM dont la valeur est indépendante de la position de M ?

Les calculer.

Pour quelle position de M a-t-on (MD) parallèle à (BC) ?
\item La tangente au cercle en A coupe la droite (BC) en E.

Calculer EB, EC et AE.
\item Soit I le point du segment [OA] tel que $\dfrac{\text{IA}}{\text{IO}} = 2$.

Calculer OI et OA.

Soit G le centre de gravité du triangle OAM. Calculer le lieu géométrique du point C, quand M varie.
\end{enumerate}
\end{document}