\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Grenoble juin 1958},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Grenoble}}
\rfoot{\small{juin 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Grenoble juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip



\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme de produits de facteurs, les expressions suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A(x)& =& 9x^2 - 6x + 1\\
B(x)& =&x^2 - 4x + 4 \\
C(x)&=&5(x - 2) - x(x - 2).
\end{array}\]
\item Simplifier l'expression :
\[E(x) = \dfrac{A(x)}{5 - x} \times \dfrac{C(x)}{B(x)} \times \dfrac{1}{3x - 1}.\]

(on appellera $E'(x)$ l'expression simplifiée de $E(x)$).

Calculer la valeur numérique de $E'(x)$
	\begin{enumerate}
		\item pour $x = \dfrac13$ ;
		\item pour $x = 2$.

Faire une remarque, s'il y a lieu au sujet de ces deux valeurs choisies.
	\end{enumerate}	
\item Déterminer la valeur de $x$ pour que l'on ait $E'(x) = - 2$.
\item Résoudre graphiquement le système
\[\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&\phantom{-}3x - 1\\
y& =&- 2x + 4
\end{array}\right.\]
Expliquer pourquoi celle résolution permet de retrouver la valeur de $x$ précédemment trouvée.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un segment de droite [AB].

Des points A et B on mène, perpendiculairement à (AB) et dans le même sens, les demi-droites [A$x$) et [B$y$).

Soit D un point de [B$y$) ; du point B on mène la perpendiculaire à (AD) qui coupe (AD) en I et [A$x$) en C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, quelle que soit la position du point D sur [B$y$), le point I appartient à un cercle fixe de centre O,
\item Démontrer les relations :
\begin{center}AB$^2$ = AC $\cdot$ BD \quad et \quad AB$^2 +$ CD$^2 =$ AC$^2 +$ BD$^2$\end{center}
\item Montrer que la tangente en I au cercle de centre O passe par les milieux de [AC] et de [BD].
\end{enumerate}
\end{document}