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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Grenoble juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Transformer en un produit de facteurs du premier degré en $x$ l'expression 

\[y = \left(\dfrac{3x}{4} + 6\right)^2 - \left(2 - \dfrac{5x}{4}\right)^2.\]

\item Simplifier la fraction rationnelle

\[\dfrac{\left(\dfrac{3x}{4} + 6\right)^2 - \left(2 - \dfrac{5x}{4}\right)^2}{x + 2}.\]

\item Tracer, dans un même système d'axes rectangulaires, les droites représentatives des fonctions $y = - x +16$ et $y = x + 2$.

Calculer les coordonnées de leur point d'intersection, I, et montrer que ces deux droites sont perpendiculaires.
\item Soient A le point d'intersection de la droite d'équation $y = - x + 16$ avec l'axe des abscisses et B le point d'intersection de la droite d'équation $y = x + 2$ avec le même axe ; calculer l'aire du triangle AIB.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un cercle de diamètre [AE] tel que AE $= 2R$ et de centre O.

Soit [BC] une corde perpendiculaire à [AE] au point D, milieu de [AO].

Une sécante issue de A coupe (BC) en M et le cercle en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles AOM et ANE sont semblables et en déduire que $R$ est moyenne proportionnelle entre AM et AN.
\item Montrer que le cercle circonscrit au triangle OMN est tangent à AO. Que dire de la puissance du point A
par rapport à ce cercle lorsque la sécante AM pivote autour de A ?.
\item Dans le cas où AM $= \dfrac{2R}{3}$, calculer MD, AN, MN, ME en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}